Question

如图（a）所示，两根足够长的平行光滑导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面的夹角为α，导轨电阻不计，整个导轨放在垂直导轨平面向上的匀强磁场中．长为L的金属棒ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m．两金属导轨的上端与右端的电路连接，R是阻值可调的电阻箱，其最大值远大于金属棒的电阻值．将金属棒由静止释放，当R取不同的值时，金属棒沿导轨下滑会达到不同的最大速度v_m，其对应的关系图象如图（b）所示，图中v₀、R₀为已知，重力加速度取g．请完成下列问题：
（1）匀强磁场的磁感应强度为多少？
（2）金属棒的电阻值为多少？
（3）当R=R₀时，由静止释放金属棒，在金属棒加速运动的整个过程中，通过R的电量为q，求在这个过程中R上产生的热量为多少？
（4）R取不同值时，R的电功率的最大值不同．有同学认为，当R=R₀时R的功率会达到最大．如果你认为这种说法是正确的，请予以证明，并求出R的最大功率；如果你认为这种说法是错误的，请通过定量计算说明理由．

Answer 1

分析：（1）金属棒下滑达到最大速度时做匀速运动，由平衡条件和安培力求得B．
（2）图象横轴截距大小等于R₀．
（3）由q=

△Φ

R+r

求出金属棒下滑的距离S，根据能量守恒定律求出热量．
（4）推导功率的表达式判断正误．

解答：解：设金属棒ab的电阻为r
（1）由F_A=BIL，I=

E

R+r

，E=BLvm，得到F_A=

B2L2vm

R+r

 
   由力平衡得 F_A=mgsinα
     得v_m=

mg(R+r)sinα

B2L2

    由图线斜率为

v0

R0

=

mgsinα

B2L2

    可求得 B=

mgR0sinα L2v0

 
（2）由图线在横轴上的截距可求得r=R₀
（3）当R=R₀时，v_m=2v₀
  由q=I△t=

△Φ

△t(R+R0)

=

△Φ

2R0

=

BLs

2R0

     可得s=

2qR0

BL

   Q=

1

2

（mgsinαs-

1

2

mv_m²）=

1

2

mgsinα

2qR0

BL

-mv₀²=q

mgR0v0sinα

-mv₀²
（4）这种说法错误．
    R的最大值电功率：P=I²R=

m2g2sin2α

B2L2

R
    因为

m2g2sin2α

B2L2

是恒量，故P∝R
  所以，P随R增大而增大，无最大值．

点评：本题是电磁感应与力学的综合题，常常用到两个经验公式：安培力F_安=

B2L2v

R+r

和感应电量q=n

△Φ

R+r

．