Question

12．如图所示，在两相距2R，水平放置的平行金属板PQ间，一质量为m、电量为q的带电粒子以速度v₀=$\sqrt{2gR}$沿板间水平中轴线O₁O₂从O₁点射入，刚好打在下极板的中点B，现在两极板间加上竖直向下的匀强电场，粒子恰好能沿O₁O₂做直线运动，已知重力加速度为g，求：
（1）极板长度L；
（2）粒子带何种电荷？PQ间U为多少？
（3）若在极板竖直中线AB右侧区域再加上一垂直纸面向里的匀强磁场（如图乙），要使从O₁射入的粒子能从PQ板间射出，求匀强磁场B的大小范围？

Answer 1

分析 （1）根据粒子做平抛运动，结合运动学公式，即可求解；
（2）根据加上电场后，竖直方向电场力与重力平衡，从而确定粒子电性，及极板间电压；
（3）根据粒子做匀速圆周运动，由牛顿第二定律，结合洛伦兹力提供向心力，及几何关系，即可求解．

解答 解：（1）极板不带电，粒子做平抛运动，则有：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
$\frac{L}{2}$=v₀t
解得：L=4R；
（2）加上电场后，竖直方向，mg=qE，
两力方向相反，故粒子带负电
由mg=q$\frac{U}{2R}$；
解得：U=$\frac{2mgR}{q}$；
（3）加上磁场后，粒子做匀速圆周运动，设圆周半径为r，则有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$

粒子刚好从下极板右侧射出磁场时，由几何关系得：${r}_{1}^{2}=（2R）^{2}+（{r}_{1}-R）^{2}$
解得：
r₁=2.5R
${B}_{1}=\frac{2m\sqrt{2gR}}{5qR}$；

粒子刚好从下极板B出磁场时，由几何关系可得：r₂=0.5R
${B}_{2}=\frac{2m\sqrt{2gR}}{qR}$
综上所述，要使粒子不与极板相碰，则有：B₁＜$\frac{2m\sqrt{2gR}}{5qR}$；或者${B}_{2}＞\frac{2m\sqrt{2gR}}{qR}$
答：（1）极板长度4R；
（2）粒子带负电荷，PQ间U为$\frac{2mgR}{q}$；
（3）匀强磁场B的大小范围B₁＜$\frac{2m\sqrt{2gR}}{5qR}$，或者${B}_{2}＞\frac{2m\sqrt{2gR}}{qR}$．

点评 考查粒子做平抛运动与圆周运动，掌握平抛运动处理规律，理解牛顿第二定律在圆周运动中应用，同时注意几何关系的正确建立．