Question

3．北京时间2009年3月1日16时13分10秒，嫦娥一号卫星在北京航天飞行控制中心科技人员的精确控制下，成功地实施了对月球的撞击．现将嫦娥一号卫星的运动过程做以下简化处理：设嫦娥一号卫星质量为m，在距月球表面高h处绕月球做匀速圆周运动，重力势能为E_p（以月球表面为零势能面）．在飞行控制中心的指令下发动机点火向前喷射气体，使卫星瞬间减速制动．在：此过程中卫星克服阻力做功，其大小为W，之后变轨撞向月球．已知月球半径为R，月球表面重力加速度为g，忽略月球自转影响．求：
（1）嫦娥一号卫星制动前绕月球做匀速圆周运动时的速率；
（2）卫星刚撞到月球表面时的速率．

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，以及万有引力等于重力，求出嫦娥一号卫星制动前绕月球做匀速圆周运动时的速率；
（2）根据动能定理求出减速制动后的速度，结合机械能守恒定律求出卫星刚撞到月球表面时的速率．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{（R+h）^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R+h}$得嫦娥一号卫星的速率为：v=$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$，
根据GM=gR²，
解得：v=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$．
（2）根据动能定理得：-W=$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
制动后撞向月球，设到达月球表面的速度为v₃，由机械能守恒定律得：
${E}_{p}+\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{3}}^{2}$，
联立解得：v₃=$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．
答：（1）嫦娥一号卫星制动前绕月球做匀速圆周运动时的速率为$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+h}}$；
（2）卫星刚撞到月球表面时的速率为$\sqrt{\frac{2{E}_{p}}{m}+\frac{g{R}^{2}}{R+h}-\frac{2W}{m}}$．

点评 本题考查了万有引力定律理论与动能定理、机械能守恒的综合，掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．