Question

如图所示，光滑球放在木板的V形槽中，它与槽左、右边的接触点分别为P点与Q点，木板与水平桌面间的动摩擦因数μ=O.1，一根绳子一端固定在木板右端，另一端能过定滑轮用恒力F拉着，已知木板质量M=10kg，球质量m=3kg，球心O与P点、Q点的连线与水平面夹角均为α=53°，其它各种摩擦及绳、滑轮的质量均不计，（已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，g=10m/s²）求：
（1）当光滑球与木板一起向右匀速运动时，拉力F多大？这时接触点P、Q对球支持力分别多大？
（2）拉力F满足什么条件时，球不会从槽中滚出？
（3）当拉力F=26N时，接触点P、Q对球的支持力分别多大？

Answer 1

分析：（1）由球和木板匀速运动知其受力平衡，可得F，再对球受力分析，由平衡方程可以算出PQ对球的支持力
（2）球不滚出的条件是，F_Q等于零，此时为最大值，对球列牛顿第二定律，对整体列牛顿第二定律，可以解得最大拉力．
（3）依据拉力与第二问算出的拉力最大值的关系，判定F=26N时，球会不会滑出来，判定不会滑出来后，才能对整体和部分用牛顿第二定律和平衡方程，可以解得接触点P、Q对球的支持力．

解答：解：（1）对球和木板整体，由平衡条件得：
F=μ（M+m）g=l3 N
对球受力分析，如图2所示，由平衡条件得：
F_Qcos53°=F_pcos53°    （F_P+F_Q）sin53°=mg
联立解得：F_P=F_Q=18.75N
（2）球与木板向右加速，球恰好不会从槽中滚出，F_Q=0，
设球和木板整体加速度为a，
则对球有：mgtan37°=ma
对球和木板整体，由牛顿第二定律得：F₁-μ（M+m）g=（M+m） a
联立解得：F₁=ll0.5N
所以当F≤110.5N 球不会从槽中滚出．
（3）当F₂=26N＜110.5 N，光滑球与板一起加速，则：
F₂-μ（M+m）g=（M+m）a'
对球受力如图3所示，由牛顿第二定律得：
（F_P'-F_Q'） cos53°=ma'
竖直方向平衡，得（F_P'+F_Q'）sin53°-mg=0
联立并代入数据解得：F_P'=21.25N    F_Q'=16.25N
答：（1）当光滑球与木板一起向右匀速运动时，拉力F为13N，这时接触点P、Q对球支持力都是18.75N
（2）拉力F≤110.5N，球不会从槽中滚出
（3）当拉力F=26N时，接触点P、Q对球F_P'=21.25N    F_Q'=16.25N

点评：本题重点是在第二问判定球不滑出的条件，是由球受力决定的，球的受力决定其由最大加速度，进而可以确定拉力的最大值．