Question

磁悬浮列车是一种高速运载工具，它由两个系统组成．一是悬浮系统，利用磁力使车体在轨道上悬浮起来从而减小阻力．另一是驱动系统，即利用磁场与固定在车体下部的感应金属线圈相互作用，使车体获得牵引力，图22就是这种磁悬浮列车电磁驱动装置的原理示意图．即在水平面上有两根很长的平行轨道PQ和MN，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B₁和B₂，且B₁和B₂的方向相反，大小相等，即B₁=B₂=B．列车底部固定着绕有N匝闭合的矩形金属线圈abcd（列车的车厢在图中未画出），车厢与线圈绝缘．两轨道间距及线圈垂直轨道的ab边长均为L，两磁场的宽度均与线圈的ad边长相同．当两磁场B_l和B₂同时沿轨道方向向右运动时，线圈会受到向右的磁场力，带动列车沿导轨运动．已知列车车厢及线圈的总质量为M，整个线圈的总电阻为R．
（1）假设用两磁场同时水平向右以速度v₀作匀速运动来起动列车，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应满足的条件；
（2）设列车所受阻力大小恒为f，假如使列车水平向右以速度v做匀速运动，求维持列车运动外界在单位时间内需提供的总能量；
（3）设列车所受阻力大小恒为f，假如用两磁场由静止开始向右做匀加速运动来起动列车，当两磁场运动的时间为t₁时，列车正在向右做匀加速直线运动，此时列车的速度为v₁，求两磁场开始运动到列车开始运动所需要的时间t₀．

Answer 1

分析：（1）以磁场为参考系，列车向左切割磁场，两条边均产生感应电动势，当列车静止时，相对速度最大，产的感应电动势最大，感应电流最大，所受的安培力最大，为使列车能随磁场运动，列车所受的阻力大小应小于线框所受的安培力．
（2）列车水平向右以速度v做匀速运动时，相对于磁场向左运动，线框所受的安培力与阻力大小相等，根据受力平衡，求出电流I，再根据能量守恒定律E=I²R+fv求出单位时间内需提供的总能量．
（3）为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，t₁时刻金属线圈中的电动势 E=2NBL（at₁-v₁），根据所受的安培力，结合牛顿第二定律求出列车最终的加速度．
从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，t₀时刻金属线圈中的电动势E₀=2NBLat₀，当t₀时刻时安培力增大到与阻力相等，根据安培力等于阻力求出t₀．

解答：解：（1）列车静止时，电流最大，列车受到的电磁驱动力最大设为F_m，此时，线框中产生的感应电动势                    
 E₁=2NBLv₀
线框中的电流      I₁=

E1

R

整个线框受到的安培力    F_m=2NBI₁L
列车所受阻力大小为fm＜Fm=

4N2B2L2v0

R

（2）当列车以速度v匀速运动时，两磁场水平向右运动的速度为v′，金属框中感应电动势E=2NBL（v'-v）
金属框中感应电流I=

2NBL(v′-v)

R

又因为            F=2NBIL=f
求得           v′=v+

fR

4N2B2L2

当列车匀速运动时，金属框中的热功率为   P₁=I²R
克服阻力的功率为     P₂=fv
所以可求得外界在单位时间内需提供的总能量为
E=I²R+fv=fv+

f2R

4N2B2L2

（3）根据题意分析可得，为实现列车最终沿水平方向做匀加速直线运动，其加速度必须与两磁场由静止开始做匀加速直线运动的加速度相同，设加速度为a，则t₁时刻金属线圈中的电动势                 
                 E=2NBL（at₁-v₁）
金属框中感应电流              I=

2NB L (at1-v1)

R

又因为安培力              F=2NBIL=

4N2B2L2(at1-v1)

R

所以对列车，由牛顿第二定律得    

4N2B2L2(at1-v1)

R

-f=Ma
解得                    a=

fR+4N2B2L2v1

4N2B2L2t1-MR

设从磁场运动到列车起动需要时间为t₀，则t₀时刻金属线圈中的电动势   E₀=2NBLat₀
金属框中感应电流         I0=

2NBLat0

R

又因为安培力           F0=2NBIL=

4N2B2L2at0

R

所以对列车，由牛顿第二定律得   

4N2B2L2at0

R

=f
解得        t0=

fR

4N2B2L2a

=

fR(4N2B2L2t1-MR)

4N2B2L2(fR+4N2B2L2v1)

．

点评：解决本题的关键以磁场为参考系，线圈做切割磁感线运动，产生感应电流，从而受到安培力，在安培力和阻力的作用下运动．