Question

16．如图所示，传送带I与水平面夹角为30°，传送带Ⅱ与水平面夹角为37°，两传送带与一小段光滑的水平面BC平滑连接，两传送带均顺时针匀速率运行．现将装有货物的箱子轻放至传送带I的A点，运送到水平面上后，工作人员将箱子内的物体取出，箱子速度不变继续运动到传送带Ⅱ上，传送带Ⅱ的D点与高处平台相切．已知箱子的质量m=lkg，传送带I的速度ν₁=8m/s，AB长L₁=15.2m，与箱子间的动摩擦因数为μ₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．传送带Ⅱ的速度ν₂=5m/s，CD长L₂=8.2m．箱子与传送带Ⅱ间的动摩擦因数为μ₂=0.5，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．

（1）求装着物体的箱子在传送带I上运动的时间；
（2）通过计算说明箱子能否被运送到高处平台上（能达到D点就认为可运送到平台上）；
（3）求箱子在传送带Ⅱ上向上运动的过程中产生的内能．

Answer 1

分析 （1）装着物体的箱子在传送带Ⅰ上先做匀加速运动，由牛顿第二定律和运动学公式位移公式结合求得匀加速至速度与传送带共速通过的位移，再分析知道共速后箱子随传送带匀速运动，分段求出时间，从而得到总时间．
（2）由牛顿第二定律和运动学公式求出箱子在传送带Ⅱ上匀加速的位移，根据共速时最大静摩擦力与重力沿斜面向下的分力大小关系，判断之后箱子的运动情况．
（3）箱子在传送带Ⅱ上向上运动的过程中，根据相对位移求产生的内能．

解答 解：（1）在传送带Ⅰ上，根据牛顿第二定律：f-mgsin30°=ma
垂直传送带方向，合力为零，故有：N-mgcos30°=0
滑动摩擦力为：f=μ₁N
整理可以得到：a=2.5m/s²
根据运动学公式：v₁²=2as
整理可以得到：s=12.8m＜L₁=15.2m
则知箱子与传送带共速后一起做匀速运动
根据速度公式：v₁=at₁
则：t₁=3.2s
与传送带一起匀速运动：L-s=v₁t₂
则：t₂=0.3s
故总时间为：t=t₁+t₂=3.5s
（2）在传送带Ⅱ上箱子先向上做匀减速运动，根据牛顿第二定律有：
f₁+mgsin37°=ma₁；
摩擦力为：f₁=μ₂mgcos37°
整理可以得到：a₁=10m/s²．
根据运动学公式有：${v}_{2}^{2}$-${v}_{1}^{2}$=2a₁s_物1；
则：s_物1=1.95m
当达到传送带速度时，由于mgsin37°＞μ₂mgcos37°，所以箱子继续减速运动
则根据牛顿第二定律：mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂；
整理可以得到：a₂=2m/s²
根据运动学公式：0-v₂²=-2a₂s_物2
所以：s_物2=6.25m
由于s_物1+s_物2=8.2m，所以物体恰能到达D点运送到高处平台上．
（3）第一段减速时间为：t_减1=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{-{a}_{1}}$
解得：t_减1=0.3s
此过程中传送带的位移大小为：s_减1=v₂t_减1=5×0.3=1.5m
两者相对位移为：△s₁=s_物1-s_减1=1.95m-1.5m=0.45m
产生的热量为：Q₁=μ₂mgcos37°△s₁
解得：Q₁=1.8J
第二阶段：t_减2=$\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$=$\frac{5}{2}$=2.5s
此过程中传送带的位移大小为：s_减2=v₂t_减2=5×2.5=12.5m
两者相对位移为：△s₂=s_减2-s_物2=12.5m-6.25m=6.25m
产生的热量为：Q₂=μ₂mgcos37°△s₂
解得：Q₂=25J
故总的热量为：Q=Q₁+Q₂=26.8J．
答：（1）装着物体的箱子在传送带Ⅰ上运动的时间是3.5s；
（2）物体恰能到达D点运送到高处平台上．
（3）箱子在传送带Ⅱ上向上运动的过程中产生的内能是26.8J．

点评 解答本题的关键是弄清楚物块的受力情况和运动情况．对于牛顿第二定律的综合应用问题，要弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答．