Question

13．如图（甲）所示，在直角坐标系0≤x≤L区域内有沿x轴正方向的匀强电场，右侧有一个圆心在x轴上、半径为L的圆形区域，圆形区域与x轴的交点分别为M、N．现有一质量为m，带电量为e的正电子（重力忽略不计），从y轴上的A点以速度v₀沿y轴负方向射入电场，飞出电场后从M点进入圆形区域，速度方向与x轴夹角为30°．此时在圆形区域加如图（乙）所示周期性变化的磁场，以垂直于纸面向里为磁场正方向，最后正电子运动一段时间后从N点飞出，速度方向与进入磁场时的速度方向相同．求：

（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小；
（2）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小应满足的表达式．

Answer 1

分析 （1）正电子在电场中只受电场力，做类平抛运动．将速度分解，可求出电子进入圆形磁场区域时的速度大小．根据牛顿第二定律求出场强E的大小．
（2）正电子在磁场中，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动．分析电子进入磁场的速度方向与进入磁场时的速度方向相同条件，根据圆的对称性，由几何知识得到半径应满足的表达式，即可求得磁感应强度B₀的大小应满足的表达式．

解答 解：（1）正电子在电场中作类平抛运动，射出电场时，如图1所示．
由速度关系：v_x=v₀cot30°=$\sqrt{3}$v₀；     
在x轴方向有：a=$\frac{eE}{m}$，${v}_{x}^{2}=2aL$
联立解得：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2eL}$ 
（2）粒子离开电场时的速度为：v=$\frac{{v}_{0}}{sin30°}$=2v₀；
在磁场变化的半个周期内粒子的偏转角为60°，根据几何知识，在磁场变化的半个周期内，粒子在x轴方向上的位移恰好等于轨迹半径R．粒子到达N点而且速度符合要求的空间条件是：
 n•2R=2L，式中 n=1，2，3，…
正电子在磁场作圆周运动的轨道半径为：R=$\frac{mv}{e{B}_{0}}$       
解得：B=$\frac{2nm{v}_{0}}{eL}$，（n=1、2、3…）  
答：（1）0≤x≤L区域内匀强电场场强E的大小是$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2eL}$；
（2）写出圆形磁场区域磁感应强度B₀的大小应满足的表达式是B=$\frac{2nm{v}_{0}}{eL}$，（n=1、2、3…）．

点评 本题带电粒子在组合场中运动，分别采用不同的方法：电场中运用运动的合成和分解，磁场中圆周运动处理的基本方法是画轨迹．所加磁场周期性变化时，要研究规律，得到通项