Question

11．我国已按计划实施“嫦娥工程”，“嫦娥一号”、“嫦娥二号”和“嫦娥三号”已成功发射，月球车已成功降落月球表面，进行科学研究．
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r；
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r_月，引力常量为G，请求出月球的质量M_月（用已知量表示）．

Answer 1

分析 （1）月球绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，列出方程．在地球表面上，物体的重力等于万有引力，列出方程，联立可解．
（2）根据竖直上抛运动的规律求出月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力，可求解月球的质量M_月．

解答 解：（1）根据万有引力定律和向心力公式有：
   G$\frac{{M}_{月}M}{{r}^{2}}$=${M}_{月}（\frac{2π}{T}）^{2}$r
质量为m的物体在地球表面时：
   mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得 r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g_月，根据竖直上抛运动规律有：
   v₀=$\frac{{v}_{月}t}{2}$
质量为m′的物体在月球表面时有：
  m′g_月=G$\frac{{M}_{月}m′}{{r}_{月}^{2}}$
解得 M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球绕地球运动的轨道半径r是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的质量M_月是$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

点评 在星球表面万有引力近似等于重力，这个关系对于解决天体运动问题非常重要，一定要理解并掌握．