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1.如图所示,水平轨道AB与位于竖直面内半径为R=0.9m的半圆形光滑轨道BCD相连,半圆形轨道的BD连线与AB垂直.质量为m=1.0kg可看作质点的小滑块在恒定外力F作用下从水平轨道上的A点由静止开始向右运动,到达水平轨道的末端B点时撤去外力,小滑块继续沿半圆形轨道运动,且恰好能通过轨道最高点D,滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到A点(g取10m/s2),求:
(1)AB段的距离是多少?
(2)滑块经过B点的速度是多少?
(3)滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小是多少?

分析 (1)物体恰好通过最高点,意味着在最高点是轨道对滑块的压力为0,即重力恰好提供向心力,这样我们可以求出vD,然后根据平抛运动的分运动公式列式求解AB段的距离;
(2)在从B到D的过程中质点仅受重力和轨道的支持力,而轨道的支持力不做功,共可以根据动能定理求出物体在B的速度;
(3)在B点根据支持力和重力的合力提供向心力得出物体在B点所受的支持力,最后根据牛顿第三定律得到压力.

解答 解:(1)小滑块恰好通过最高点,则有:mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得:vD=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.9}$=3m/s;
从D到A过程做平抛运动,故:
x=vDt
2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
联立解得:
x=${v}_{D}\sqrt{\frac{4R}{g}}$=3×$\sqrt{\frac{4×0.9}{10}}$=1.8m
(2)设滑块到达B点时的速度为vB,滑块由B到D过程由动能定理有:
-2mgR=$\frac{1}{2}$mv2D-$\frac{1}{2}$mv2B
解得:${v}_{B}=\sqrt{{v}_{D}^{2}+4gR}$=$\sqrt{{3}^{2}+4×10×0.9}$=3$\sqrt{5}$m/s
(3)在B点,根据牛顿第二定律,有:
FN-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据得:
FN=mg+m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$=1×10+1×$\frac{(3\sqrt{5})^{2}}{0.9}$=60N
由牛顿第三定律知滑块在B点对轨道的压力为60 N,方向竖直向下;
答:(1)AB段的距离是1.8m;
(2)滑块经过B点的速度是3$\sqrt{5}$m/s;
(3)滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小是60N.

点评 ①物体恰好通过D点是本题的突破口,这一点要注意把握;
②题目要求滑块经过B点进入圆形轨道时对轨道的压力大小而根据物体在B点的运动情况所求的是轨道对物体的支持力,故运动别忘记“由牛顿第三定律知滑块在B点对轨道的压力为60 N”.

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