Question

14．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，构建天地一体化的量子保密通信与科学实验体系．假设量子卫星轨道在赤道平面，如图所示．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，由此可知（　　）

• A． 同步卫星与量子卫星的运行周期之比为$\frac{{n}^{3}}{{m}^{3}}$
• B． 同步卫星与P点的速度之比为$\sqrt{\frac{1}{n}}$
• C． 量子卫星与同步卫星的速度之比为$\frac{n}{m}$
• D． 量子卫星与P点的速度之比为$\sqrt{\frac{{n}^{3}}{m}}$

Answer 1

分析 研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出所要比较的物理量；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度；

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，由题意知${r}_{量子}^{\;}=mR$，${r}_{同步}^{\;}=nR$，所以$\frac{{T}_{同}^{\;}}{{T}_{量}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{同}^{3}}{{r}_{量}^{3}}}=\sqrt{\frac{（nR）_{\;}^{3}}{（mR）_{\;}^{3}}}=\sqrt{\frac{{n}_{\;}^{3}}{{m}_{\;}^{3}}}$，故A错误；
B、P为地球赤道上一点，P点角速度等于同步卫星的角速度，根据v=ωr，所以有$\frac{{v}_{同}^{\;}}{{v}_{P}^{\;}}=\frac{{r}_{同}^{\;}}{{r}_{P}^{\;}}=\frac{nR}{R}=\frac{n}{1}$，故B错误；
C、根据$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，所以$\frac{{v}_{量}^{\;}}{{v}_{同}^{\;}}=\sqrt{\frac{{r}_{同}^{\;}}{{r}_{量}^{\;}}}=\sqrt{\frac{nR}{mR}}=\sqrt{\frac{n}{m}}$，故C错误；
D、综合BC，有${v}_{同}^{\;}=n{v}_{P}^{\;}$，$\frac{{v}_{量}^{\;}}{n{v}_{P}^{\;}}=\sqrt{\frac{n}{m}}$，得$\frac{{v}_{量}^{\;}}{{v}_{P}^{\;}}=\sqrt{\frac{{n}_{\;}^{3}}{m}}$，故D正确；
故选：D

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．