Question

（2013?宝鸡三模）如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场．一个质量为m，带电荷量为+q的粒子从坐标原点O以速度v₀沿x轴正方向开始运动．当它经过图中虚线上的M（2

3

a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处y轴负方向运动并再次经过M点．已知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力．试求：
（1）电场强度的大小；
（2）N点的坐标；
（3）矩形磁场的最小面积．

Answer 1

分析：带电粒子在电场中做类平抛运动，射出电场后做匀速直线运动，进入在磁场中做匀速圆周运动，利用类平抛运动的规从电场中射出速度方向的垂线一，垂足为P，则P点为粒子射入磁场的入射点，N为从磁场中射出的初射点．以O′为圆心，ON为半径做圆如下图；该圆即是粒子运动的轨迹；做NP 的平行线与圆相切，再做MO′的两条平行线与圆相切，则这三条切线和MN围成的面积即是最小面积．

解答：解：如图是粒子的运动过程示意图．
（1）粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有
2

3

a=v0t                   
a=

1

2

×

qE

m

t2                  
得E=

mv02

6qa

                    
电场强度大小为：E=

mv2

6qa

（2）设粒子运动到M点时速度为v，与x方向的夹角为α，则：vy=

qE

m

t=

3

3

v0            
v=

v 2 0 + v 2 y

=

2 3

3

v0          
tanα=

vy

v0

=

3

3

，即α=300，
由题意知，粒子从P点进入磁场，从N点离开磁场，粒子在
磁场中以O′点为圆心做匀速圆周运动，设半径为R，
则：qBv=m

v2

R

，
代入数据得粒子做圆周运动的半径为：
R=

mv

qB

=

2 3 mv0

3qB

             
由几何关系知：β=

1

2

∠PMN=300   
所以N点的纵坐标为yN=

R

tanβ

+a=

2mv0

qB

+a  
横坐标为xN=2

3

a                        
故N点的坐标为（2

3

a，

2mv0

qB

+a）
（3）当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小．则矩形的两个边长分别为
L1=2R=

4 3 mv0

3qB

                     
L2=R+Rsinβ=

3 mv0

qB

               
所以矩形磁场的最小面积为：Smin=L1×L2=

4m2 v 2 0

q2B2

   
矩形磁场最小面积为Smin=

4m2 v 2 0

q2B2

点评：有该题看出，分清物理过程，不同物理过程应用相应的物理知识；抓住关键字句，分析出关键条件．如该题中粒子从N点沿MN的方向射出，即可分析出速度方向，再利用相关知识来“定圆心，找半径”；此外良好的作图能力及几何分析能力是解决此类问题的关键