Question

16．如图所示，平面直角坐标系中的第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B大小未知，第四象限存在方向与x轴正方向成45°斜向右上方的匀速电场．电场强度大小E未知．现有一质量为m₁、电荷量为q的带正电粒子以初速度v₀从y轴上的A点水平向右垂直射入磁场，粒子从x轴上D点与x轴正方向成45°进入第四象限，粒子在电场力作用下与x轴正方向成30°（没画出）第二次通过x轴（过M点），此时第一象限内磁场方向变为垂直纸面问题．磁感应强度大小不变，粒子恰好又从D点第三次通过x轴，不计粒子重力，DM=L，取sin75°=0.96，cos75°=0.25，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小和匀强电场的电场强度E的大小．
（2）OA的长．
（3）粒子从A点出发到第三次通过x轴所用的时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律求出电场强度；粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出磁感应强度．
（2）求出粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径，然后求出OA的长度．
（3）求出粒子在磁场与电场中的运动时间，然后求出粒子的总运动时间．

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得，粒子初速度方向上的位移s₁与沿电场方向的位移s₂大小相等，
s₁=s₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，在初速度方向上：s₁=v₀t，在电场方向上：s₂=$\frac{1}{2}$$\frac{qE}{m}$t²，
解得：E=$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
粒子再次进入磁场时的速度如图所示：

粒子的速度：v=$\frac{{v}_{0}}{cos75°}$=4v₀，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，粒子运动轨迹如图所示：

由几何知识可得，θ=60°粒子轨道半径：r=L，
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：B=$\frac{4m{v}_{0}}{qL}$，r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{4m{v}_{0}}{qB}$=L；
（2）粒子运动轨迹如图所示：

粒子第一次在磁场中运动时的轨道半径：
r′=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=$\frac{L}{4}$，
由几何知识得：OA=r′-r′sin45°=（$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{8}$）L；
（3）粒子在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
粒子从A到D的时间：t₁=$\frac{45°}{360°}$T=$\frac{πL}{16{v}_{0}}$，
粒子在电场中从D运动到M的时间：t₂=$\frac{{s}_{1}}{{v}_{0}}$=$\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$，
粒子在磁场中从M到D的时间：t₃=$\frac{360°-60°}{360°}$T=$\frac{5πL}{12{v}_{0}}$，
粒子从A点出发到第三次通过x轴所用的时间：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{πL}{16{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$+$\frac{5πL}{12{v}_{0}}$；
答：（1）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{4m{v}_{0}}{qL}$，匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{2\sqrt{2}m{v}_{0}^{2}}{qL}$．
（2）OA的长为（$\frac{1}{4}$-$\frac{\sqrt{2}}{8}$）L．
（3）粒子从A点出发到第三次通过x轴所用的时间为$\frac{πL}{16{v}_{0}}$+$\frac{\sqrt{2}L}{2{v}_{0}}$+$\frac{5πL}{12{v}_{0}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动，分析清楚粒子的运动过程，作出粒子运动轨迹，应用牛顿第二定律、类平抛运动规律即可正确解题，要注意运动的合成与分知识的应用．