Question

11．如图，在0≤x≤$\sqrt{3}$a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感强强度的大小为B．在t=0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与y轴正方向的夹角分布在0-180°范围内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界上P（$\sqrt{3}$a，a）点离开磁场．求：
（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．

Answer 1

分析 （1）由几何关系可确定粒子飞出磁场所用到的时间及半径，再由洛仑兹力充当向心力关系，联立可求得荷质比；
（2）由几何关系可确定仍在磁场中的粒子位置，则可由几何关系得出夹角范围；
（3）最后飞出的粒子转过的圆心角应为最大，由几何关系可知，其轨迹应与右边界相切，则由几何关系可确定其对应的圆心角，则可求得飞出的时间．

解答 解：（1）初速度与y轴方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图1中的弧OP所示，其圆心为C．由几何关系可知，∠POC=30°；
△OCP为等腰三角形，故
∠OCP=$\frac{2π}{3}$   ①
此粒子飞出磁场所用的时间为
t₀=$\frac{T}{3}$        ②
式中T为粒子做圆周运动的周期．
设粒子运动速度的大小为v，半径为R，由几何关系可得
R=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$a      ③
由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$     ④
T=$\frac{2πR}{v}$      ⑤
联立②③④⑤解得：
$\frac{q}{m}$=$\frac{2π}{3B{t}_{0}}$     ⑥
（2）仍在磁场中的粒子其圆心角一定大于120°，这样粒子角度最小时从磁场右边界穿出；角度最大时从磁场左边界穿出．依题意，所有粒子在磁场中已经转动的时间相同，则转过的圆心角相同，故弦长相等；同一时刻仍在磁场内的粒子到O点距离相同．在t₀时刻仍在磁场中的粒子应位于以O点为圆心、OP为半径的弧$\widehat{MN}$上．（$\widehat{MN}$只代表初速度与y轴正方向为30度时粒子的运动轨迹）如图所示．
设此时位于P、M、N三点的粒子的初速度分别为v_P、v_M、v_N．由对称性可知v_P与OP、v_M与OM、v_N与ON的夹角均为60°．
设v_M、v_N与y轴正向的夹角分别为θ_M、θ_N，由几何关系有θ_M=$\frac{π}{3}$ ⑦
θ_N=$\frac{2}{3}π$ ⑧
对于所有此时仍在磁场中的粒子，其初速度与y轴正方向所成的夹角θ应满足：
$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{2}{3}π$
（3）在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切，其轨迹如图2所示．由几何关系可知：

OM=OP
由对称性可知
ME=OP
由图可知，圆的圆心角为240°，从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间2t₀；
答：（1）粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{2π}{3B{t}_{0}}$；
（2）此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范围为：$\frac{π}{3}$≤θ≤$\frac{2}{3}π$；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间为2t₀．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，解题的关键在于确定圆心和半径，并能根据几何关系确定可能的运动轨迹