Question

17．如图所示，光滑半圆形轨道的半径为R，水平面粗糙，弹簧自由端D与轨道最低点C之间的距离为4R，一质量为m可视为质点的小物块自圆轨道中点B由静止释放，压缩弹簧后被弹回到D点恰好静止．已知小物块与水平面间的动摩擦因数为0.2，重力加速度为g，弹簧始终处在弹性限度内．

（1）求弹簧的最大压缩量和最大弹性势能；
（2）现把D点右侧水平面打磨光滑，且已知弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比．现使小物块压缩弹簧，释放后能通过半圆形轨道最高点A，求压缩量至少是多少？
（3）在（2）问中，小物块经过B点时，对轨道的压力是多少？

Answer 1

分析 （1）对小物块从B到压缩到最右端再返回到D点为研究过程，根据动能定理求出弹簧的最大压缩量．从压缩量最大位置到返回原长的过程中，弹性势能全部转化为摩擦产生的内能，根据能量守恒求出最大弹性势能．
（2）根据牛顿第二定律求出通过最高点A的最小速度，抓住弹簧压缩时弹性势能与压缩量的二次方成正比，从弹簧压缩的位置到A点运用动能定理，求出压缩量的大小．
（3）根据机械能守恒定律和牛顿第二定律求出小物块对轨道的压力大小．

解答 解：（1）设弹簧的最大压缩量为x，最大弹性势能为E_p，对小物块，从B到D再压缩弹簧又被弹回到D的过程中由动能定理有：
mgR-μmg（4R+2x）=0，
解得x=0.5R，
小物块从压缩弹簧最短到返回至D，由动能定理有：E_p-μmgx=0，
解得E_p=0.1mgR，
（2）设压缩量至少为x₁，对应的弹性势能为E_p1，
则$\frac{{E}_{p1}}{{E}_{p}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{x}^{2}}$，
小物块恰能通过半圆形轨道最高点A，则mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$，
小物块从压缩弹簧到运动至半圆形轨道最高点A，由动能定理有：
${E}_{p1}-μmg4R-2mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
联立解得${x}_{1}=\frac{\sqrt{33}}{2}R$．
（3）设小滑块在B处的速度为v_B，由机械能守恒定律得，
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}+mgR$，
由牛顿第二定律得，${F}_{B}=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}=3mg$，
根据牛顿第三定律得，小滑块对轨道的压力F_B=3mg．
答：（1）弹簧的最大压缩量为0.5R，最大弹性势能为0.1mgR；
（2）压缩量至少是$\frac{\sqrt{33}}{2}R$；
（3）小物块经过B点时，对轨道的压力是3mg．

点评 本题综合运用了动能定理和能量守恒定律，解决本题的关键灵活选取研究的过程，选用适当的规律进行求解．