Question

8．假设在地球赤道上竖直固定一根用纳米材料制作的横向硬度极大、长度又可控制伸缩的长杆，这长杆可伸长到比地球同步卫星还高的轨道上，长杆上端固定有一个质量为m的小球，地球的半径为R，地面的重力加速度为g，地球自转的角速度为ω，杆的最长长度为L，请你分析杆由地面缓慢地伸长到L长的过程，小球受到杆的作用力的变化情况．

Answer 1

分析 杆由地面缓慢地伸长到L长的过程，小球绕地球做圆周运动的角速度不变，等于地球自转的角速度ω，当杆伸长到地球同步卫星的轨道时，小球受到的地球引力等于向心力，小球在地面上时，受到杆的支持力和地球引力，
当杆伸长到L长时，受到杆的拉力和地球引力，根据合力提供向心力求解小球受到杆的作用力的变化情况．

解答 解：杆由地面缓慢地伸长到L长的过程，小球绕地球做圆周运动的角速度不变，等于地球自转的角速度ω，当杆伸长到地球同步卫星的轨道时，小球受到的地球引力等于向心力，
所以：杆对小球的作用力F_N=0，
小球在地面上时，受到杆的支持力和地球引力，如图示

有：$\frac{GMm}{R^2}-{F_N}=m{ω^2}R$
又：$\frac{GMm}{R^2}=mg$
得：${F_N}=m（g-{ω^2}R）$
当杆伸长到L长时，受到杆的拉力和地球引力，如图示

有：$\frac{GMm}{{{{（R+L）}^2}}}+{F_N}=m{ω^2}（R+L）$
得：${F_N}=m{ω^2}（R+L）-\frac{{mg{R^2}}}{{{{（R+L）}^2}}}$
答：杆由地面伸长到地球同步卫星的轨道的过程中，杆对小球的向上的支持力从m（g-ω²R）减小到0，
杆由地球同步卫星轨道伸长到L过程中，杆对小球的向下的拉力从0增加到$m{ω^2}（R+L）-\frac{{mg{R^2}}}{{{{（R+L）}^2}}}$．

点评 本题主要考查了向心力公式的直接应用，知道球在地面上时，受到杆的支持力和地球引力，合力提供向心力，当杆伸长到L长时，受到杆的拉力和地球引力，合力提供向心力，再根据向心力公式求解，难度适中．