Question

（15分）一质量为的平顶小车，以速度沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。现将一质量为的小物块无初速地放置在车顶前缘。已知物块和车顶之间的动摩擦系数为。

1.     若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？

2.      若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？

Answer 1

解析：

1. 物块放到小车上以后，由于摩擦力的作用，当以地面为参考系时，物块将从静止开始加速运动，而小车将做减速运动，若物块到达小车顶后缘时的速度恰好等于小车此时的速度，则物块就刚好不脱落。令表示此时的速度，在这个过程中，若以物块和小车为系统，因为水平方向未受外力，所以此方向上动量守恒，即

                                                 （1）

从能量来看，在上述过程中，物块动能的增量等于摩擦力对物块所做的功，即

                                                      （2）

其中为物块移动的距离。小车动能的增量等于摩擦力对小车所做的功，即

                                             （3）

其中为小车移动的距离。用表示车顶的最小长度，则

                                                           （4）

由以上四式，可解得

                                     （5）

即车顶的长度至少应为。

2．由功能关系可知，摩擦力所做的功等于系统动量的增量，即

                                          （6）

由（1）、（6）式可得

                                              （7）