Question

8．如图甲，匀强磁场磁感应强度为B，磁场宽度为3L，一正方形金属框abcd的边长为L，每边电阻为R，金属框以速度v匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直．求：

（1）求金属框进入磁场阶段，通过回路的电荷量；
（2）当金属框完全在磁场中运动时，求金属框a、b两端电压U_ab，某同学的解法如下：
设通过金属框中的电流为I，则U_ab=I•3R，代入数据，即可求得U_ab．
你认为该同学的解答是否合理？若合理，请解出最后结果；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法算出正确结果．
（3）若当金属框cd边到达磁场左边缘时，磁感应强度大小按如图乙所示的规律变化，求金属框穿过磁场区的过程中cd边克服安培力做的功．

Answer 1

分析 （1）金属框进入磁场阶段，由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$求感应电流，由q=It求电荷量．
（2）当金属框完全在磁场中运动时穿过线框的磁通量不变，由此分析即可．
（3）cd边克服安培力做的功W等于金属框产生的焦耳热，根据功能关系和焦耳定律求解．

解答 解：（1）金属框进入磁场阶段产生的电动势  E₁=B₀Lv                
产生逆时针方向的感应电流，感应电流的大小 I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$
则通过回路的电荷量 q=I₁•$\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$                                                        
（2）当金属框完全在磁场中运动时穿过线框的磁通量不变，所以回路中没有感应电流，ab两点之间的电势差等于ab棒上产生的电动势，所以U_ab=BLv．所以该同学的说法是不合理的． 
（3）线圈进入磁场时，cd边克服安培力做的功为
W₁=$\frac{{E}_{1}^{2}}{R}•\frac{L}{v}$=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{R}$                                                                                       
线圈在磁场内运动时，cd 克服安培力做功的功率
P=Fv=BI₂Lv=$\frac{{B}_{0}Lv}{2R}$•L•（B₀+k△t）v
其中，k=$\frac{△B}{△t}$=$\frac{{B}_{0}v}{2l}$                
此过程克服安培力做的功 W₂=$\overline{P}$t=$\frac{{P}_{1}+{P}_{2}}{2}$t=$\frac{\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•{B}_{0}+\frac{{B}_{0}{L}^{2}v}{2R}•2{B}_{0}}{2}$$•\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{4R}$•$\frac{2L}{v}$=$\frac{3{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$           
则 W=W₁+W₂=$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．
答：（1）金属框进入磁场阶段，通过回路的电荷量为$\frac{{B}_{0}{L}^{2}}{R}$；
（2）不合理，因为没有感应电流，只有感应电动势；当金属框完全在磁场中运动时ab之间的电势差是BLv．
（3）金属框穿过磁场区的过程中cd边克服安培力做的功W为$\frac{5{B}_{0}^{2}{L}^{3}v}{2R}$．

点评 本题考查了电磁感应与电路、图象和能量的综合，关键要有分段研究感应电动势、感应电流和功的能力，特别是明确当功率均匀增大时，要知道平均功率等于初、末功率的平均值．