Question

如图20所示，以A、B和C、D为端点的两半圆形光滑轨道固定于竖直平面内，一滑板静止在光滑水平地面上，左端紧靠B点，上表面所在平面与两半圆分别相切于B、C，一物块被轻放在水平匀速运动的传送带上E点，运动到A时刚好与传送带速度相同，然后经A沿半圆轨道滑下，再经B滑上滑板，滑板运动到C时被牢固粘连，物块可视为质点，质量为m，滑板质量M=2m，两半圆半径均为R，板长， E距A为S=5R，物块与传送带、物块与滑板间的动摩擦因数均，重力加速度取g。

（1）求物块滑到B点的速度大小；

（2）若板右端到C的距离L足够大，求当两物体共速时板滑行的距离；

（3）若板右端到C的距离L在R<L<5R范围内取值，试讨论物块从滑上滑板到离开滑板右端的过程中，克服摩擦力做的功与L的关系。

Answer 1

解：（1）设物块到达B点的速度为v_B，对物块从E到B由动能定理得

   ①解得      ②

（2）假设物块与滑板达到共同速度v时，物块还没有离开滑板，对物块与滑板，由动量守恒，有        ③

   设物块在滑板上运动的距离为s₁，由能量守恒得  ④

 由③④，得  ⑤   即达到共同速度v时，物块不会脱离滑板滑下。

设此过程滑板向右运动的距离为s₂，对滑板由动能定理得⑥

由③⑥，得

（3）讨论：①当时，滑块在滑板上一直减速到右端，设此时的速度为v_C，对物块由动能定理得

  ⑦   解得

所以克服摩擦力所做的功

（备学习用：设物块离开滑板沿圆轨道上升的高度为H，由机械能守恒得

  ⑧   解得，故物块不能滑到CD轨道中点。）

②当时，滑块与滑板最终一起运动至滑板与C相碰，碰后滑块在滑板上继续做减速运动到右端，设此时的速度为v_C1 ，对物块由动能定理得              

   ⑨

解得   所以克服摩擦力所做的功  （备学习用：设物块离开滑板沿圆轨道上升的高度为h，由机械能守恒得     ⑩

解得，故物块不能滑到CD轨道中点。）