Question

7．如图所示，在光滑水平面上静止放置着质量为M、长L=6m的木板．距离板右端x=3m处有一固定的光滑绝缘四分之三圆弧轨道，轨道半径r=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，且最低点A与木板上表面等高相切．现有一质量为m，带有q=$\frac{mg}{E}$正电荷的滑块（可看作质点），以v₀=6m/s的初速度滑上木板．滑块与木板间动摩擦因数μ=0.2，且M=2m=2kg．已知当木板滑到右侧与轨道侧壁相撞时立即粘连不动，且当滑块滑入圆轨道时，将触发一开关，使空间产生水平向右的匀强电场，场强为E．（g=10m/s²，且$\sqrt{6+2\sqrt{2}}$≈3），求：
（1）滑块m到达圆轨道A点时的速度和此过程中滑块与木板间的摩擦生热；
（2）滑块m在圆轨道上运动过程中，机械能最大时对轨道的压力；
（3）若x值不确定，求能保证滑块在圆轨道上滑行且不脱轨时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出滑块的加速度，然后应用速度位移公式可以求出滑块的速度，应用功的计算公式可以求出产生的热量．
（2）当滑块到达圆轨道最右侧时机械能最大，由动能定理求出此时的速度，然后由牛顿第二定律求出支持力，然后求出压力．
（3）应用匀变速直线运动的速度位移公式求出x的最大值，应用牛顿第二定律与匀变速运动的速度位移公式求出x的最小值，然后确定其范围．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：
对m：-μmg=ma，
代入数据解得：a=-μg=-2m/s²，
对M：μmg=Ma′，
代入数据解得：a′=1m/s²，
M、m组成的系统动量守恒，以向右为正方向，由动量守恒定律得：
mv₀=（M+m）v，
代入数据解得：v=2m/s，
两者共速时，滑块的位移：x_滑块=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$=8m，
木板的位移：x_木板=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$=2m，
则：x_木板+L=x_滑块，
此时滑块恰好到达木板的右端，然后它们一起向右做匀速直线运动，直到与木板到达A点，
则到达A点时m的速度为2m/s，
产生的热量：Q=μmgL=0.2×1×10×6=12J；
（2）小球到达B点时机械能最大，由图示可知：tanθ$\frac{mg}{qE}$=1，θ=45°，
由动能定理得：qErsin45°-mgr（1-cos45°）=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv²，
由牛顿第二定律得：F-$\frac{mg}{sinθ}$=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{r}$，
解得：F=（50$\sqrt{2}$-20）N≈50.7N，
由牛顿第三定律可知，对轨道的压力：F′=F=50.7N；
（3）小球到达E点时速度为零，恰好不脱离轨道，从A到E过程，由动能定理得：
qErcos45°-mgr（1+sin45°）=0-$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：v_A=2$\sqrt{2}$m/s，
小球恰好到达C点时，由牛顿第二定律得：
$\frac{mg}{sin45°}$=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$，解得：v_C=$\sqrt{2}$m/s，
由A到C过程，由动能定理得：
-qErcos45°-mgr（1+sin45°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得：v_A=$\sqrt{6+2\sqrt{2}}$m/s≈3m/s，
滑块要不脱离轨道，则滑块到达A点时的速度，
v_A≤2$\sqrt{2}$m/s或v_A≥3m/s，
当x≥2m时，滑块滑到木板右端时与木板共速，此时v_A=2m/s，滑块不会脱离轨道，
当x＜2m时，滑块达到木板右端时滑块的速度大于木板的速度，
x越小，滑块到达A点的速度越大，当木块速度为3m/s时，
由动能定理得：-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入数据解得：s=6.75m，
则：x=s-L=0.75m，滑块到达A速度要大于等于3m/s，则x≤0.75m，
当滑块到达A点时的速度恰好为2$\sqrt{2}$m/s时，
由动能定理得：-μmgs′=$\frac{1}{2}$mv_A²-$\frac{1}{2}$mv₀²，
代入数据解得：s′=7m，
x′=s′-L=1m，滑块不脱离轨道，x′≥1m，
综上所述可知，保证滑块在圆轨道上滑行且不脱轨时x的取值范围是：x≤0.75m或x≥1m；
答：（1）滑块m到达圆轨道A点时的速度为2m/s，此过程中滑块与木板间的摩擦生热为12J；
（2）滑块m在圆轨道上运动过程中，机械能最大时对轨道的压力为50.7N；
（3）若x值不确定，能保证滑块在圆轨道上滑行且不脱轨时x的取值范围是：x≤0.75m或x≥1m．

点评 本题是一道力学综合题，难度很大，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，应用动量守恒定律、动能定理、牛顿第二定律可以解题，解题时注意临界条件．