Question

19．如图所示，在无穷大的光滑水平面上有两个物块A、B，质量分别为M、m（M＞m），物块A右端拴接轻弹簧l．现用物块B将固定在墙壁上的弹簧2缓慢压缩，当弹簧2的弹性势能为E₀时，释放物块B．物块B被弹簧2弹开后，碰到弹簧l（不粘连），由于M比m大，物块B被反弹，以后B将在两弹簧之间往复运动．则从释放物块B开始，在以后整个运动过程中：
（1）分析说明何时B的速度最大？并求出B速度的最大值？
（2）分析说明何时弹簧l所能获得的弹性势能最大？并求出这个最大值．
（3）若已知M=5m，求A、B最后的运动速度．
（4）若已知M远远大于m，求整个运动过程中弹簧1对物块B的总冲量．

Answer 1

分析 （1）物体A、B第一次碰撞时，当速度相同时，弹簧压缩的最短，弹性势能最大，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式后联立求解即可；
（2）系统动量守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出最大弹性势能；
（3）第一次碰撞过程，根据动量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；第二次碰撞过程同样根据动量守恒定律和能量守恒定律列式求解末速度；通过计算会发现第二次碰撞后B的速度开始小于A的速度；
（4）应用动量定理可以求出B所受的冲量．

解答 解：（1）系统机械能守恒，当弹簧2第一次恢复原长时，弹簧2、弹簧1及M的能量为零时，m的动能最大，速度最大．
由机械能守恒有：E₀=$\frac{1}{2}$mv₀²，解得，B的最大速度为：v₀=$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（2）弹性1第一次压缩到最短时，弹簧1的弹性势能最大．因为B与弹簧2碰撞的次数越多，
系统向左的动量就越大，当弹簧1压缩到最短时的共同速度也就越大，这样系统的动能也越大，而总机械能守恒，弹簧1的势能反而减小． 
以1的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律得：E_P1=E₀-$\frac{1}{2}$（m+M）v²，解得：E_P1=$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$；
（3）相互作用前A与B的速度设为v_A、v_B，相互作用后的速度设为v_A′、v_B′，
由动量守恒有：Mv_A+mv_B=Mv_A′+mv_B′，
由能量守恒有：$\frac{1}{2}$Mv_A²+$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$Mv_A′²+$\frac{1}{2}$mv_B′²，
解得：$v_A^'=\frac{M-m}{M+m}{v_A}+\frac{2m}{M+m}{v_B}=\frac{2}{3}{v_A}+\frac{1}{3}{v_B}$，$v_B^'=\frac{2M}{M+m}{v_A}+\frac{m-M}{M+m}{v_B}=\frac{5}{3}{v_A}-\frac{2}{3}{v_B}$；
将v_A=0，v_B=v₀代入上式得第一次作用后A、B的速度分别为：$\frac{1}{3}{v_0}$和$-\frac{2}{3}{v_0}$
B与弹簧2相碰后以$\frac{2}{3}{v_0}$反弹回来，将v_A=$\frac{1}{3}{v_0}$，v_B=$\frac{2}{3}{v_0}$代入上式得，
第二次相互作用后A、B的速度分别为$\frac{4}{9}{v_0}$和$\frac{1}{9}{v_0}$，之后不能再发生相作用．
所以最终A、B的速度为：V_A=$\frac{4}{9}{v_0}$=$\frac{4}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$，V_B=$\frac{1}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$，方向：向左；
（4）由上问的一般表达式可知：当M＞＞m时，每次相互作用后，M的速率要增加一个微小量，
m的速率要减小一个微小量，而只要m的速率大于M的速率，就还要发生相互作用，
最终M和m将以共同速度向左运动，弹簧保持原长．
对系统，由机械能守恒定律有：E₀=$\frac{1}{2}$（M+m）V_共²，
对M（含弹簧1）由动量定理有：I=MV_共
由牛顿第三定律：I′=-I，
解得：弹簧1对B的冲量大小为：I′=$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$，方向水平向右．
答：（1）当弹簧2第一次恢复原长时，弹簧2、弹簧1及M的能量为零时，B的速度最大，B速度的最大值为：$\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（2））弹性1第一次压缩到最短时，弹簧l所能获得的弹性势能最大，这个最大值为：$\frac{{M{E_0}}}{M+m}$；
（3）若已知M=5m，A、B最后的运动速度分别为：$\frac{4}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$、$\frac{1}{9}\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{m}}$；
（4）若已知M远远大于m，整个运动过程中弹簧1对物块B的总冲量为：$M\sqrt{\frac{{2{E_0}}}{M+m}}$，方向水平向右．

点评 本题是动量与能量综合的问题，关键是明确碰撞过程中系统的动量守恒，同时结合机械能守恒定律列式分析；第三问要对每次碰撞过程讨论，直到不能碰撞为止．