Question

17．如图所示，MN、PQ是足够长的光滑平行导轨，其间距为L，且MP与两导轨垂直，导轨平面与水平面间的夹角θ=30°．M、P和N、Q之间均接阻值为2R的电阻．有一垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B₀．将一根质量为m的金属棒ab紧靠MP放在导轨上，且与导轨接触良好，金属棒的电阻为R，导轨电阻不计．现用与导轨平行的恒力F=mg沿导轨平面向上拉金属棒，使金属棒从静止开始沿导轨向上运动，金属棒在运动过程中始终与MP平行．当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd到MP的距离为s，重力加速度为g．
（1）求金属棒达到的稳定速度v．
（2）求金属棒从静止开始运动到cd的过程中，导体棒上产生的热量．
（3）当金属棒滑行至cd时，去掉NQ间的电阻2R，为使导体棒的速度不变，拉力应变为多少？若保持此拉力，将此时刻记作t=0，并让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，写出磁感应强度B随时间t变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）金属棒匀速运动时达到稳定状态，由安培力力公式求出安培力，由平衡条件求出速度．
（2）由能量守恒定律求出产生的热量．
（3）求出安培力，由平衡条件可以求出拉力大小，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出位移，根据感应电流产生的条件求出磁感应强度．

解答 解：（1）当金属棒稳定运动时，
由平衡条件得：F=mgsin θ+F_安，
安培力：F_安=B₀IL=$\frac{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；
解得：v=$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）设金属棒从静止开始运动到cd的过程中，导体棒上产生的热量为Q，则整个电路产生的焦耳热为2Q，
由能量守恒定律得：Fs=mgs•sin θ+2Q+$\frac{1}{2}$mv²，解得：Q=$\frac{1}{4}$mgs-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$；
（3）当金属棒运动到cd时，去掉NQ间的电阻，为使导体棒的速度不变，即使金属棒处于平衡状态，设拉力变为F₁，
由平衡条件得：F₁=mgsin θ+F_安'，安培力：F_安'=B₀I′L=B₀$\frac{{B}_{0}Lv}{3R}$L，解得：F₁=$\frac{5}{6}$mg，
当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流，此时金属棒将沿导轨做匀加速运动，
由牛顿第二定律得：F₁-mgsin θ=ma，解得：a=$\frac{1}{3}$g，导体棒的位移：x=vt+$\frac{1}{2}$at²，
导体棒中不产生感应电流，穿过回路的磁通量不变，
即：B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²），解得：B=$\frac{6{{B}_{0}}^{3}{L}^{2}s}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}（6s+g{t}^{2}）+6mgRt}$．
答：（1）金属棒达到的稳定速度v为$\frac{mgR}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}}$．
（2）金属棒从静止开始运动到cd的过程中，导体棒上产生的热量为$\frac{1}{4}$mgs-$\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{4{{B}_{0}}^{4}{L}^{4}}$．
（3）当金属棒滑行至cd时，去掉NQ间的电阻2R，为使导体棒的速度不变，拉力应变为$\frac{5}{6}$mg；
若保持此拉力，将此时刻记作t=0，并让磁感应强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，磁感应强度B随时间t变化的关系式为：B=$\frac{6{{B}_{0}}^{3}{L}^{2}s}{{{B}_{0}}^{2}{L}^{2}（6s+g{t}^{2}）+6mgRt}$．

点评 本题考查了求速度、热量、拉力大小、磁感应强度，分析清楚金属棒的运动过程，知道感应电流产生的条件，应用安培力公式、平衡条件、能量守恒定律、牛顿第二定律即可正确解题．