Question

7．如图所示，水平传送带AB的长度L=3.75m，皮带轮的半径R=0.1m．现有一小物体（视为质点）以水平速度v₀从A点滑上传送带，物块与传送带间动摩擦因数为μ=0.2，传送带上表面距地面的高度h=5m，g取10m/s²，试讨论下列问题：
（1）若皮带静止，要使小物体滑到B端后做平抛运动．则小物体滑上A点的初速度v₀至少为多少？
（2）若皮带轮以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，小物体滑上A点的初速度v₀=3m/s，求小物体由A点运动到B点的时间及落地点到B的水平位移s；
（3）若皮带轮以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，求v₀满足什么条件时，小物块均落到地面上的同一点．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出在B点恰好做平抛运动时的速度，结合牛顿第二定律和速度位移公式求出小物块滑上A点的最小初速度．
（2）根据小物块和传送带的速度大小关系确定小物块的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式求出小物块的运动时间，根据平抛运动的规律求出水平位移．
（3）抓住小物块一直做匀加速运动或一直做匀减速运动，根据匀变速直线运动的速度位移公式求出v₀满足的条件．

解答 解：（1）若皮带静止，小物体在皮带上滑动的加速度为a，则：μmg=ma，
要使小物块在B点开始做平抛运动，则小物体在B点开始时对皮带压力为0，即：$mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$     
又 ${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{B}}^{2}=2aL$     
代入数据解得：v₀=4m/s．
（2）若皮带轮以角速度ω=40rad/s顺时针匀速转动，皮带的速度v=Rω=4m/s＞v₀
小物体刚在皮带上滑动时加速，加速度为：a=μg
加速时间  ${t}_{1}=\frac{v-{v}_{0}}{a}$
代入数据解得    t₁=0.5s
加速位移 ${x}_{1}=\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$ 
代入数据解得x₁=1.75m   
然后匀速，时间为t₂，则${t}_{2}=\frac{L-{x}_{1}}{v}$
代入数据解得t₂=0.5s  
小物体由A点运动到B点的时间 t=t₁+t₂=0.5+0.5s=1s．
平抛时 h=$\frac{1}{2}g{{t}_{3}}^{2}$，s=vt₃        
代入数据解得：s=4m．
（3）v₀最大时，小物块在皮带一直做匀减速运动，到B端时，物块速度刚好为v
则 ${{v}_{max}}^{2}-{v}^{2}=2aL$    
代入数据 解得${v}_{max}=\sqrt{31}m/s$．
v₀最小时，小物块在皮带一直做匀加速运动，到B端时，物块速度刚好为v，
则${v}^{2}-{{v}_{min}}^{2}=2aL$，代入数据解得v_min=1m/s．
即1m/s$≤{v}_{0}≤\sqrt{31}m/s$时，小物块均落在地面上的同一点．
答：（1）小物体滑上A点的初速度v₀至少为4m/s．
（2）小物体由A点运动到B点的时间为1s，落地点到B的水平位移为4m．
（3）1m/s$≤{v}_{0}≤\sqrt{31}m/s$时，小物块均落在地面上的同一点．

点评 解决本题的关键理清小物块在传送带上的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，难度中等．