Question

回旋加速器在核科学、核技术、核医学等高新技术领域得到了广泛应用，有力地推动了现代科学技术的发展。
(1)当今医学影像诊断设备PET/CT谌称“现代医学高科技之冠”，它在医疗诊断中，常利用能放射正电子的同位素碳11作示踪原子。碳11是由小型回旋加速器输出的高速质子轰击氮14获得，同时还产生另一粒子，试写出核反应方程，若碳11的半衰期τ为20 min，经2.0 h剩余碳11的质量占原来的百分之几？（结果取2位有效数字）
(2)回旋加速器的原理如图所示，D₁和D₂是两个中空的半径为R的半圆金属盒，它们接在电压一定、频率为f的交流电源上，位于D₁圆心处的质子源A能不断产生质子（初速度可以忽略，重力不计），它们在两盒之间被电场加速，D₁、D₂置于与盒面垂直的磁感应强度为B的匀强磁场中，若质子束从回旋加速器输出时的平均功率为P，求输出时质子束的等效电流I与P、B、R、f的关系式（忽略质子在电场中的运动时间，其最大速度远 小于光速）。
(3)试推理说明：质子在回旋加速器中运动时，随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r是增大、减小还是不变？

Answer 1

解：(1)核反应方程为： ①
设碳11原有质量为m₀，经过t₁=2.0h剩余的质量为m_r，根据半衰期定义有：②
(2)设质子质量为m，电荷量为q，质子离开加速器时速度大小为v，由牛顿第二定律知： ③
质子运动的回旋周期为： ④
由回旋加速器工作原理可知，交流电源的频率与质子回旋频率相同，由周期T与频率f的关系得：⑤
设在t时间内离开加速器的质子数为N，则质子束从回旋加速器输出时的平均功率为：⑥
输出时质子束的等效电流为： ⑦
由上述各式得： ⑧
若以单个质子为研究对象解答过程正确的同样得分
(3)设k(k∈N*)为同一盒中质子运动轨道半径的序数，相邻的轨道半径分别为r_k、r_k+1(r_k+1>r_k)，△r_k=r_k+1-r_k，在相应轨道上质子对应的速度大小分别为v_k、v_k+1、D₁、D₂之间的电压为U，由动能定理知：
 ⑨
由洛伦兹力充当质子做圆周运动的向心力，知，则：
整理得 ⑩
因U、q、m、B均为定值，令，由上式得：
相邻轨道半径r_k+1、r_k+2之差△r_k+1=r_k+2-r_k+1
同理
因为r_k+2>r_k，比较△r_k、△r_k+1得：△r_k+1＜△r_k
说明随轨道半径r的增大，同一盒中相邻轨道的半径之差△r减小
一题多解：质子在加速过程中加速不变，故可以看成做初速度为零的匀加速运动，设质子第n次经过狭缝后的半径为r_n，速度为v_n，由动能定理得：
在磁场中洛伦兹力提供向心力：
解得：
则得
那么半径的差值之比为：
可见△r逐渐减小