Question

在质量为M=1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m=0.2kg，高h=0.05m、总电阻R=100Ω、n=100匝矩形线圈，且小车与线圈的水平长度l相同．现线圈和小车一起在光滑的水平面上运动，速度为v₁=10m/s，随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度B=1.0T的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图（1）所示．已知小车运动（包括线圈）的速度v随车的位移s变化的v-s图象如图（2）所示．求：
（1）小车的水平长度l和磁场的宽度d
（2）小车的位移s=10cm时线圈中的电流大小I以及此时小车的加速度a
（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电量q
（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q

Answer 1

分析：（1）线圈进入磁场，线圈中有感应电流受安培力作用，小车做减速运动速度v随位移s减小，当线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动．结合图象的信息，读出小车的水平长度l，根据小车的运动情况，求磁场的宽度d．
（2）读出小车此时的速度，根据楞次定律解出感应电动势、感应电流，根据安培定则解出线框所受的安培力，结合牛顿第二定律解出小车的加速度a；
（3）根据感应电荷量q=n

△Φ

R

求电量q．
（4）线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热．

解答：解：（1）由图可知，从s=5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v随位移s减小，当s=15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动．因此小车的水平长度l=10cm．
当s=30cm时，线圈开始离开磁场，则d=（30-5）cm=25cm
（2）当s=10cm时，由图象中可知线圈右边切割磁感线的速度v₂=8m/s
由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流I=

E

R

=

nBhv2

R

  
解得：I=

100×1×0.05×8

100

A=0.4A
此时线圈所受安培力F=πBIh=100×1×0.4×0.05N=2N   
小车的加速度 a=

F

(M+m)

=

2

1.2

m/s2=1.67m/s²       
（3）q=

△Φ

R

=

nBh△s

R

  
解得：q=

100×1×0.05×0.1

100

C=5×10^-3C  
（4）由图象可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为v₃=2m/s．
线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热．
  Q=

1

2

（M+m）（v

2 1

-v

2 3

）  
解得线圈电阻发热量Q=57.6J    
答：
（1）小车的水平长度l为10cm，磁场的宽度d为25cm．
（2）小车的位移s=10cm时线圈中的电流大小I为0.4A，此时小车的加速度a为1.67m/s²．
（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电量q为

100×1×0.05×0.1

100

C．
（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q为57.6J．

点评：本题关键要根据速度的变化分析磁场宽度，同时要结合力和运动的关系进行分析求解，明确安培力对物体运动的影响．