Question

4．在光滑水平面内建立xoy坐标系，质量为m=4kg的质点正沿y轴正方向匀速运动，其速度为v₀=2m/s．如图所示，当质点运动到原点O处时开始受到沿+x方向的恒力F作用．
（1）若要使质点能经过坐标为（4，2）的p点，则恒力F大小为多大？
（2）设质点自O点经过一段时间后到达某点q，其坐标为（x₀，y₀），若作质点运动轨迹在q点的切线，则切线反向延长线与y轴相交，交点纵坐标一定为$\frac{{y}_{0}}{2}$，试证明．

Answer 1

分析 （1）质点在y轴正方向做匀速直线运动，在x轴方向做匀加速直线运动，根据分运动与合运动具有等时性，抓住水平位移和竖直位移的关系求出运动的时间．再结合牛顿第二定律求出恒力F的大小．
（2）将小球运动沿着xy方向正交分解，求出夹角的大小，从而证明交点纵坐标一定为．

解答 解：（1）小球在xoy坐标系内，做类平抛运动，若要小球经过p点，则必须满足：
在x方向：$\frac{1}{2}$at²=4…①
在y方向：2t=2…②
代入数据，得：a=8m/s²…③
由牛顿第二定律得：F=ma…④
代入数据得：F=4×8=32N…⑤
（2）当任意时间t时，由类平抛运动规律得：y₀=v₀t…⑥
x₀=$\frac{1}{2}$v_xt…⑦
所以：若作质点运动轨迹在q点的切线，即速度方向与+y方向的夹角为：$tanθ=\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}=\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}=\frac{{x}_{0}}{\frac{1}{2}{y}_{0}}$
可知做质点运动轨迹在q点的切线，则切线反向延长线与y轴相交，交点纵坐标一定为$\frac{{y}_{0}}{2}$．
答：（1）使小球能经过坐标为（4，2）的p点，则恒力是32N；
（2）证明略．

点评 本题关键要要将小球的运动沿着x、y方向正交分解，x方向做匀变速直线运动，y方向做匀速直线运动，然后根据运动学公式列式求解．