Question

9．如图甲所示为车站使用的水平传送装置的示意图．绷紧的传送带长度L=2.0m，以v=3.0m/s的恒定速率运行，传送皮带轮的半径均为r=0.2m，传送带的水平部分AB距离水平地面的高度h=0.45m．现有一行李箱（可视为质点）质量m=10kg，以v₀=1.0 m/s的水平初速度从A端滑上传送带，被传送到B端时没有被及时取下，行李箱从B端水平抛出，行李箱与传送带间的动摩擦因数μ=0.20，不计空气阻力，重力加速度g取l0m/s²．
（1）求行李箱从传送带上A端运动到B端过程中传送带对行李箱做功的大小；
（2）传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦，求为运送该行李箱传送带的角速度ω是多少；
（3）假如皮带轮顺时针匀速转运，当转动的角速度为ω时，旅行包从B端脱落后落地点距B端的水平距离为s．若皮带轮以不同的角速度ω重复上述动作，可得到一组对应的ω值与s值，试在给定的坐标系中正确地画出s-ω的关系图线（要求写出作图数据的分析过程）．

Answer 1

分析 （1）滑动摩擦力根据公式f=μmg即可求解，由牛顿第二定律可求得加速度，由运动学公式可判断行李箱在B点刚好加速到传送带的速度，从而能分析行李箱的运动情况，根据动能定理可求出传送带对行李箱做功．
（2）根据公式v=rω求传送带的角速度ω．
（3）结合牛顿第二定律和运动学公式求出平抛的初速度，从而得出水平位移和传送带的速度关系，再得到水平距离与角速度的关系，即可画出图象．

解答 解：（1）行李箱刚滑上传送带时做匀加速直线运动，设行李箱受到的摩擦力为F_f
根据牛顿第二定律有：F_f=μmg=ma
解得：a=μg=0.2×10=2.0 m/s²
设行李箱速度达到v=3.0 m/s时的位移为s₁，则v²-v₀²=2as₁
得 s₁=$\frac{{v}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{3}^{2}-{1}^{2}}{2×2}$=2.0m
可见，s₁=L
则知行李箱在传动带上刚好能加速传送带B端时与传送带的速度相等．
依据动能定理有：传送带对行李箱做功  W=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}×10×（{3}^{2}-{1}^{2}）$J=40J
（2）由v=rω得ω=$\frac{v}{r}$=$\frac{3}{0.2}$=15（rad/s）
（3）如皮带轮顺时针匀速转动，当ω≥15rad/s时，行李箱到达B端的速度均为 v=3m/s，平抛运动的水平距离s保持不变．
行李箱做平抛运动的过程，有：
  h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  s=vt
解得 t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$=0.3ss
 s=v$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=3×0.3m=0.9m
当传送带的速度为零时，行李箱匀减速至速度为零时的位移：s₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{1}^{2}}{2×2}$=0.25m＜L
当传送带的速度满足0＜v＜3.0m/s，即0＜ω＜15rad/s时，行李箱的水平位移 s=vt=ωrt=ω×0.2×0.3=0.09ω，即水平位移s与ω成正比．
画出s-ω的关系图线如图所示．

答：
（1）行李箱从传送带上A端运动到B端过程中传送带对行李箱做功的大小是40J；
（2）为运送该行李箱传送带的角速度ω是15rad/s．
（3）如图所示．

点评 传送带问题是物理上典型的题型，关键是分析物体的运动情况，根据动能定理和动力学方法进行研究．