Question

9．质量为m的小球从空中某点由静止释放，下落高度h后加上一竖直向上的恒力，再经过相同时间小球又回到原出发点，不计空气阻力，小球始终没有落地，重力加速度为g，则下列说法中错误的是（　　）

• A． 从加恒力开始到小球返回原出发点的过程中，恒力做的功为2mgh
• B． 从加恒力开始到小球下落至最低点的过程中，小球的动能减少了mgh
• C． 从开始下落到小球运动至最低点的过程中，小球的重力势能减少了$\frac{4}{3}$mgh
• D． 小球返回原出发点时的速度大小为$\sqrt{8gh}$

Answer 1

分析 小球先做自由落体运动，加上恒力小球先向下做匀减速运动，后向上做匀加速运动．由运动学公式求出t秒末速度大小，加上恒力小球运动可看成一种匀减速运动，自由落体运动的位移与这个匀减速运动的位移大小相等、方向相反，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求恒力F，由W=Fh求得F做的功，即可得到重力势能的变化．由动能定理得求出小球运动到最低点时下降的高度，得到重力势能的减少量．

解答 解：A、小球先做自由落体运动，后做匀减速运动，两个过程的位移大小相等、方向相反．设恒力大小为F，加恒力后小球的加速度大小为a，运动时间为t，取竖直向下方向为正方向，则
由$\frac{1}{2}$gt²=-（vt-$\frac{1}{2}$at²），又 v=gt，解得 a=3g，
由牛顿第二定律得  F-mg=ma，联立解得，F=4mg
则整个过程，恒力做的功为 W=Fh=4mgh，那么小球做的功减少了4mgh．故A错误．
B、从加恒力开始到小球下落最低点的过程中，小球动能减少量为△E_k=$\frac{1}{2}$mv²=mgh．故B正确．
C、设加恒力位置到下落最低点过程小球下落的高度为h′，则由 v²=2ah′得
  h′=$\frac{{v}^{2}}{2a}$=$\frac{2gh}{2×3g}$=$\frac{1}{3}$h，从开始下落到小球运动至最低点的过程中，小球重力势能减少量为△E_P=mg（h+h′）=$\frac{4}{3}$mgh．故C正确．
D、刚加恒力时小球的速度大小为v=gt，小球返回原出发点时的速度大小为 v′=v-at=-2gt=-2v，又 v=$\sqrt{2gh}$，则v′=-2$\sqrt{2gh}$，大小为2$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{8gh}$，故D正确．
故选：BCD

点评 本题要分析清楚小球的运动过程，分两段进行研究，采用整体法研究匀减速运动过程，抓住两个过程之间的联系：位移大小相等、方向相反，运用牛顿第二定律、运动学规律和动能定理结合进行研究．