Question

13．如图所示，足够长的光滑金属框竖直放置，框宽L=0.5m，框的电阻不计，匀强磁场磁感应强度B=1T，方向与框面垂直，金属棒MN的质量为100g，电阻为1Ω．现让MN无初速地释放并与框保持接触良好的竖直下落，从释放到达到最大速度的过程中通过棒某一横截面的电量为1C，求此过程中回路产生的电能．（空气阻力不计，g=10m/s²）

Answer 1

分析 金属棒下落过程受到重力和安培力作用，安培力随着速度的增大而增大，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件和安培力与速度的关系式，可求得最大速度．根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式q=It，求出棒下落的高度，再根据能量守恒列式求解．

解答 解：金属棒下落过程中所受安培力大小为  F=BIL  
其中通过金属棒的电流强度为 I=$\frac{E}{R}$
金属棒所受的安培力 F=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
金属棒下落过程做加速度逐渐减小的加速运动，加速度减小到零时速度达到最大，根据平衡条件得：
 mg=F 
设金属棒的最大速度为v_m，则得：
 mg=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$
解得：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.1×10×1}{{1}^{2}×0．{5}^{2}}$=4m/s
设此过程中棒下落的高度为h．通过导体某一横截面的电量为：q=$\overline{I}$△t
又 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$
联立得：q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{BLh}{R}$
可得 h=$\frac{qR}{BL}$=$\frac{1×1}{1×0.5}$=2m
在下落过程中，金属棒减小的重力势能转化为它的动能和电能E，由能量守恒定律得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$+E
代入数据解得：E=1.2J
答：此过程中回路产生的电能为1.2J．

点评 解决本题的关键是熟练推导安培力与速度的关系式、感应电荷量与高度的关系式．对棒进行受力分析、熟练应用法拉第电磁感应定律、欧姆定律、能量守恒定律等正确解题．