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5.如图所示,在0≤x≤$\sqrt{3}$a、0≤y≤a的长方形区域由垂直于xoy平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,坐标原点O处由一粒子源,在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计),其速度方向均在xoy平面内的第一象限,且与y轴正方向的夹角分布在0~90°范围内,速度大小不同,且满足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$,已知粒子在磁场中做圆周运动的周期为T,则下列说法正确的是(  )
A.最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{12}$
B.最先从磁场上边界飞出的粒子经历的时间小于$\frac{T}{12}$
C.最后从磁场中飞出的粒子经历的时间为$\frac{T}{6}$
D.最后从磁场中飞出的粒子经历的时间小于$\frac{T}{6}$

分析 由于带电粒子是以不同速度(大小和方向均不同)从坐标原点射入磁场,所以其做匀速圆周运动的半径不同,可以由洛仑兹力提供向心力求得最大的半径和最小的半径,显然向着y轴正方向射出的粒子以最大的半径做匀速圆周运动时,偏转角越小,时间越短.至于最长的时间要根据粒子的半径与磁场边界的几何关系来确定,有两种情况可以肯定:①以最小半径且与上边界相切的可能打在右边界上,画出运动轨迹,由几何关系求出偏转角.②以最小半径最后打在下边界上的粒子,根据对称性也容易求出偏转角.以上两种情况对比,从而可以求得最长时间.

解答 解:带电粒子粒子在磁场中做匀速圆周运动有:$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$,
从而求得半径为:r=$\frac{mv}{qB}$,
将题设条件代入得:rmin=2a,rmax=3a,
而带电粒子做匀速圆周运动的周期为:T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$.
A、B  显然沿y轴正方向以最大速度射出的粒子最先射出磁场区域,如图所示,偏转角${α}_{min}=arcsin\frac{a}{3a}=arcsin\frac{1}{3}<\frac{π}{6}$,最短时间小于$\frac{1}{12}T$.所以选项A错误,选项B正确.
C、D   在磁场中运动最长时间的带电粒子是以最小速度从O出发与上边界相切最后从右边界穿出,如图所示,由几何关系可以求出偏转角.由于O2A=a,所以∠OO2A=60°,
OA=2asin60°=$\sqrt{3}a$,即恰与上边界的端点射出(只是题图有问题)所以此种情况最大偏转角αmax=60°.还有
一种情况是以最小速度射出后从下边界即x轴射出,如图所示,此种情况
的偏转角$α=2arcsin\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{2a}<60°$,所以最大偏转角取60°则运动的最长时间为$\frac{T}{6}$,
所以选项C正确,选项D错误.
故选:BC

点评 本题的靓点在于最长时间和最短时间的确定:①半径越大,弯曲程度越大,在其他条件相同的情况下,偏转角越小,时间越短.②计算过程中要考虑轨迹与磁场边界的几何关系,由于题图的几何关系不协调,影响了思维.③以最小半径运动的粒子与上边界相切时,要求出切点的横坐标,才能判断与右边界的几何关系.

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