Question

17．在光滑水平桌面中央固定一边长为0.3m的小正三棱柱abc俯视如图所示．长度为L=1m的细线，一端固定在a点，另一端拴住一个质量为m=1kg、不计大小的小球．初始时刻，把细线拉直在ca的延长线上，并给小球以v₀=1m/s且垂直于细线方向的水平速度，由于棱柱的存在，细线逐渐缠绕在棱柱上．已知细线所能承受的最大张力为8N，求：
（1）小球从开始运动至绳断时的位移．
（2）绳断裂前小球运动的总时间．

Answer 1

分析 细线断裂之前，绳子拉力与速度垂直，小球的速度大小不变．绳子刚断裂时，拉力大小为8N，由F=m$\frac{{v}^{2}}{r}$求出此时的半径．小球每转120°半径减小0.3m，确定出小球转动的圈数，求出时间．根据初位置、末位置的直线距离求解位移大小．

解答 解：（1）对小球，由牛顿第二定律，有：
${T}_{max}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{{T}_{max}}$=$\frac{1×{1}^{2}}{8}$=0.125m
小球每转120°半径减小0.3m，细线断裂之前，小球恰好运动一圈，故运动的位移大小为：
S=1m-0.1m=0.9m
（2）细线断裂之前，小球恰好运动一圈，运动时间：
t=$\frac{\frac{2}{3}π[L+（L-a）+（L-2a）]}{{v}_{0}}$=$\frac{2π（3L-3a）}{{v}_{0}}$=1.4πs
答：（1）小球从开始运动至绳断时的位移为0.9m；
（2）绳断裂前小球运动的总时间为1.4πs．

点评 本题是物理数列类型，通过分析，抓住小球每转120°半径减小0.3m，确定出小球转动的圈数是关键．