Question

14．小明设计了如图所示的由斜面和部分圆弧光滑连接组成的轨道来发射火箭．斜面倾角为θ，长为l，圆弧半径为R．一质量为m的火箭从A处由静止沿斜面下滑，经圆弧转向后在B处竖直向上起飞．设火箭发动机推力F恒定，且始终与火箭运行方向一致．火箭与斜面间的摩擦系数为μ，圆弧光滑，不计空气阻力，且火箭在运行过程中质量保持不变，重力加速度为g．求火箭
（1）沿斜面运动的加速度a；
（2）从静止运动到B处，发动机所做的功；
（3）从B点起飞的速度v；
（4）在最低点C处对轨道的正压力．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求沿斜面运动的加速度a；
（2）由几何关系求出从静止运动到B处火箭通过的路程s，再由W=Fs求发动机所做的功；
（3）由功能原理求出火箭从B点起飞的速度v；
（4）由功能原理求出火箭通过C点的速度．在最低点C处，由合力提供向心力，由牛顿定律求对轨道的正压力．

解答 解：（1）火箭沿斜面运动时，由牛顿第二定律，有：
mgsinθ-μmgcosθ+F=ma                            
得：a=gsinθ-μgcosθ+$\frac{F}{m}$                              
（2）由几何关系得从静止运动到B处火箭通过的路程为：
s=l+（θ+$\frac{π}{2}$）R                                       
火箭发动做功为：
W=Fs=F[l+（θ+$\frac{π}{2}$）R]
（3）从开始到B点的过程，由功能原理，有：
mglsinθ+W-μmglcosθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgRcosθ
解得：v=$\sqrt{2（glsin-μglcosθ-gRcosθ+\frac{W}{m}）}$           
（4）设火箭在最低点C时的速度为v_C，从C到B的过程，由功能原理，有：
$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+F•$\frac{π}{2}$R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+mgR
在C点，由牛顿第二定律，有：
F_N′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得：F_N′=3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF                                  
由牛顿第三定律，得在最低点C处对轨道的正压力大小为：F_N=F_N′=3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF，方向竖直向下．              
答：（1）沿斜面运动的加速度a是=gsinθ-μgcosθ+$\frac{F}{m}$；
（2）从静止运动到B处，发动机所做的功是F[l+（θ+$\frac{π}{2}$）R]；
（3）从B点起飞的速度v是$\sqrt{2（glsin-μglcosθ-gRcosθ+\frac{W}{m}）}$；
（4）在最低点C处对轨道的正压力是3mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$-πF，方向竖直向下．

点评 解决本题的关键要熟练运用功能原理求速度，也可以根据动能定理求速度．要注意火箭发动机推力F是变力，由于方向始终与火箭运行方向相同，所以推力做功可以由公式W=Fs．