Question

10．如图所示，某一新型发电装置的发电管是横截面为矩形的水平管道，管道的长为L、宽为d、高为h，上下两面是绝缘板．前后两侧面M、N是电阻可忽略的导体板，两导体板与开关S和定值电阻R相连．整个管道置于磁感应强度大小为B、方向沿z轴正方向的匀强磁场中．管道内始终充满电阻率为ρ的导电液体（有大量的正、负离子），且开关闭合前后，液体在管道进、出口两端压强差的作用下，均以恒定速率v₀沿x轴正向流动，液体所受的摩擦阻力不变．
（1）求开关闭合前，M、N两板间的电势差大小U₀；
（2）求开关闭合前后，管道两端压强差的变化△p；
（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S=dh不变，求电阻R可获得的最大功率P_m及相应的宽高比$\frac{d}{h}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据洛伦兹力等于电场力，即可求解；
（2）根据压强与压力的关系，结合安培力表达式，及欧姆定律，即可求解；
（3）由功率表达式，结合数学知识求极值法，即可求解．

解答 解：（1）设带电离子所带的电荷量为q，当其所受的洛伦兹力与电场力平衡时，U₀保持恒定，
有qv₀B=q$\frac{U0}{d}$①
解得：U₀=Bdv₀②
（2）设开关闭合前后，管道两端压强差分别为p₁、p₂，
液体所受的摩擦阻力均为f，开关闭合后管道内液体受到的安培力为F_安，
有p₁hd=f③
p₂hd=f+F_安④
F_安=BId⑥
根据欧姆定律，有I=$\frac{{U}_{0}}{R+r}$⑥
两导体板间液体的电阻r=ρ$\frac{d}{Lh}$⑦
由②③④⑤⑥⑦式得△p=$\frac{Ld{v}_{0}{B}^{2}}{LhR+dρ}$⑧
（3）电阻R获得的功率为P=I²R⑨
P=$（\frac{Bd{v}_{0}}{R+\frac{ρd}{Lh}}）^{2}$R⑩
当$\frac{d}{h}$=$\frac{LR}{ρ}$时，⑪
电阻R获得的最大功率P_m=$\frac{{B}^{2}dS{v}_{0}^{2}}{4ρ}$
答：（1）开关闭合前，M、N两板间的电势差大小Bdv₀；
（2）开关闭合前后，管道两端压强差的变化$\frac{Ld{v}_{0}{B}^{2}}{LhR+dρ}$；
（3）调整矩形管道的宽和高，但保持其他量和矩形管道的横截面积S=dh不变，电阻R可获得的最大功率
$\frac{{B}^{2}dS{v}_{0}^{2}}{4ρ}$及相应的宽高比$\frac{d}{h}$的值$\frac{LR}{ρ}$．

点评 考查带电粒子受到洛伦兹力与电场力相平衡的应用，掌握压强公式与安培力表达式，注意液体受到安培力的模型建立，同时理解会求极值的方法．