Question

12．在粗糙的绝缘水平面上相距为6L的A、B两处，分别固定电量不等的正点电荷，两电荷的位置坐标如图（甲）所示，其中B处电荷的电量为Q．图（乙）是AB连线之间的电势φ与位置x之间关系的图象：图中x=L点为图线的最低点，x=-2L处的纵坐标φ=φ₀，x=0处的纵坐标φ=$\frac{25}{63}$φ₀．x=2L处的纵坐标φ=$\frac{3}{7}$φ₀，在x=-2L的C点由静止释放一个质量为m、电量为q的带正电物块（可视为质点），物块随即向右运动．

求：
（1）固定在A处的电荷的电量Q_A；
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ应多大，才能使小物块恰好到达x=2L处；
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数μ=$\frac{kqQ}{3mg{L}^{2}}$，小物块运动到何处时速度最大？并求最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）由图（乙）得，x=L点为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强E_合=0，根据点电荷场强公式列方程化简，可得A处的电荷的电量．
（2）物块先做加速运动再做减速运动，到达x=2L处速度v_t≥0，从x=-2L到x=2L过程中，由动能定理列式，可解得动摩擦因数．                
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，列平衡方程，化简解出速度最大位置距离A点的距离l_A． 小物块从x=-2L运动到x=0的过程中，由动能定理解得最大速度．

解答 解：（1）由图（乙）得，x=L点为图线的最低点，切线斜率为零，即合场强E_合=0       
所以 k$\frac{{Q}_{A}}{{r}_{A}^{2}}$=k$\frac{{Q}_{B}}{{r}_{B}^{2}}$
代入得 k$\frac{{Q}_{A}}{（4L）^{2}}$=k$\frac{{Q}_{B}}{（2L）^{2}}$
解得Q_A=4Q_B=4Q；
（2）物块先做加速运动再做减速运动，到达x=2L处速度v_t≥0
从x=-2L到x=2L过程中，由动能定理得：
  qU₁-μmgs₁=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
即q（φ₀-$\frac{3}{7}$φ₀）-μmg（4L）=$\frac{1}{2}$mv₁²-0   
解得μ=$\frac{q{φ}_{0}}{7mgL}$；                        
（3）小物块运动速度最大时，电场力与摩擦力的合力为零，设该位置离A点的距离为l_A
则：$\frac{kq•4Q}{{l}_{A}^{2}}$-$\frac{k•qQ}{（6L-{l}_{A}）^{2}}$-μmg=0                  
解得l_A=3L，即小物块运动到x=0时速度最大． 
小物块从x=-2L运动到x=0的过程中，由动能定理得：
  qU₂-μmgs₂=$\frac{1}{2}$mv_m²-0
代入数据：q（φ₀-$\frac{25}{63}$φ₀）-μmg（2L）=$\frac{1}{2}$mv_m²-0
解得 v_m=$\sqrt{\frac{76q{φ}_{0}}{63m}-\frac{4kqQ}{3mL}}$
答：
（1）固定在A处的电荷的电量Q_A是4Q
（2）小物块与水平面间的动摩擦因数μ应$\frac{q{φ}_{0}}{7mgL}$，才能使小物块恰好到达x=2L处；
（3）若小物块与水平面间的动摩擦因数μ=$\frac{kqQ}{3mg{L}^{2}}$，小物块运动到离A点的距离3L处时速度最大，最大速度v_m是$\sqrt{\frac{76q{φ}_{0}}{63m}-\frac{4kqQ}{3mL}}$．

点评 在电场问题中运用动能定理时要注意电场力做功和路径无关，只和初末两点的电势差有关，掌握电场力做功的公式W_AB=qU_AB，注意各量都要代入符号．