Question

14．如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，轨道的一个端点B和圆心O的连线与水平方向间的夹角θ=30°，另一端点C为圆弧轨道的最低点，过C点的轨道切线水平．C点右侧的光滑水平面上紧挨C点放置一质量为2m足够长的木板，木板的上表面与C点等高，质量为m的小物块从空中某处A以大小v₀=$\sqrt{gR}$的速度水平抛出，恰好从轨道的B端沿切线方向进入轨道并滑上滑板．不计空气阻力，重力加速度大小为g．求：
（1）AB两点在水平方向的距离x；
（2）物块经过轨道上C点时，所受C点的支持力大小F；
（3）在物块刚滑上木板到相对木板静止的过程中，物块与木板之间因摩擦而产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的规律得出物体在B点时的竖直分速度，求出平抛运动的时间，从而求得AB两点在水平方向的距离x；
（2）由平抛运动的规律求出物体在B点时的速度，对B到C段运用机械能守恒定律求出物块经过C点的速度，根据牛顿第二定律求轨道对物块的支持力；
（3）在物块刚滑上木板到相对木板静止的过程中，由动量守恒和能量守恒定律列方程联立求解因摩擦而产生的热量Q．

解答 解：（1）物块经过轨道上B点时的竖直分速度大小为：
v_y=$\frac{{v}_{0}}{tanθ}$
由v_y=gt得：t=$\frac{{v}_{y}^{\;}}{g}$
AB两点在水平方向的距离为：x=v_yt
联立解得：x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{gtanθ}$=$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{g}$
（2）物块经过轨道上B点时的速度大小为：v_B=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=2$\sqrt{gR}$；
由B到C机械能守恒，有：mgR（1+sinθ）=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_c=$\sqrt{7gR}$
在C点，由牛顿第二定律有：F-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得：F=8mg
（3）设物块与木板相对静止时的速度为v，取向右方向为正方向，由动量守恒定律有：
  mv_c=（m+2m）v
根据能量守恒定律有：Q=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$（m+2m）v²
由以上两式得：Q=$\frac{7}{3}$mgR
答：（1）AB两点在水平方向的距离x是$\frac{\sqrt{3}{v}_{0}^{2}}{g}$；
（2）物块经过轨道上C点时，所受C点的支持力大小F是8mg；
（3）在物块刚滑上木板到相对木板静止的过程中，物块与木板之间因摩擦而产生的热量Q是$\frac{7}{3}$mgR．

点评 本题的关键是要分析清楚物体C的运动过程，掌握平抛运动的研究方法：运动的分解法．第3问也可以根据牛顿第二定律和运动学公式求出相对运动的位移大小，再求热量．