Question

10．水平台面上固定一倾角为37°的斜面ABC，A为斜面的底端点，C为顶端点，AB部分光滑，长度s_AB=1.0m；BC部分粗糙，长度s_BC=2.0m．在斜面顶端C处固定一质量不计的光滑定滑轮，一根细绳绕过滑轮，左端系在A处质量m=1.0kg的滑块P（可视为质点）上，右侧竖直部分穿上质量M=1.0kg的物块Q．已知P与BC部分的动摩擦因数μ=0.7，当绳中张力超过9.6N时物块Q与绳间就会出现相对滑动，且绳与Q间的摩擦力恒为F=9.6N．开始时，P、Q均静止，绳处于伸直状态．现同时释放P和Q，已知在P上滑过程中Q不会从绳上滑脱也不会落地，取g=10m/s²，试分析：（sin37°=0.6）
（1）P从A点运动到最高点的过程中，P、Q与地球组成的系统的机械能减少了多少？
（2）仅增大Q的质量，试通过计算说明P能否到达C点．

Answer 1

分析 （1）对开始时的PQ进行受力分析，由牛顿第二定律求出共同的加速度，由位移速度公式求出P到达B点的速度；到达B点后，先对B进行受力分析，求出B对绳子的拉力，与9.6N比较，判断出Q与绳子之间是否由相对滑动．然后将受力分析与运动学的公式相结合，分别求出P与Q的位移，最后由功能关系即可求出；
（2）当绳子的张力最大时，对B的拉力最大，由此求出B向上的最大加速度，然后由位移速度公式求出P到达B的速度，最后由位移速度公式即可求出P的位移，判定P能否到达C点．

解答 解：（1）设释放PQ时，绳子中的张力为T，两个物体的加速度是a，P到达B点的速度为v_B，则：
Mg-T=Ma
T-mgsinθ=ma
${v}_{B}^{2}=2a{s}_{AB}$
联立解得：a=2.0m/s²，v_B=2m/s
P到达B点时后，mgsinθ+μmgcosθ=1.0×10×sin37°+0.7×1.0×10×cos37°=11.6N＞F
故Q与绳子之间存在滑动．设P到达的最高点为D，滑块从B到D的过程中，P做减速运动，设该过程中二者的加速度分别为a₁和a₂，运动的时间为t，P滑动的距离为s_BD，Q滑动的距离为s，则：F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
解得：${a}_{1}=-2.0m/{s}^{2}$
又：$0-{v}_{B}^{2}=2{a}_{1}{s}_{BD}$
0-v_B=a₁t
联立解得：t=1.0s，s_BD=1.0m＜$\overline{BC}$，可知P不能到达C点
对Q：Mg-F=Ma₂
代入数据得：a₂=0.4m/s²
Q的位移：s=${v}_{B}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
代入数据得：s=2.2m
P与Q组成的系统减小的机械能：△E=μmgcosθ•s_BD+F•（s-s_BD）
代入数据得：Q=17.12J
（2）随Q质量的增大，刚释放时P与Q的加速度就增大，绳子的拉力也增大，当Q的质量大于一定的数值时，绳子上的拉力保持最大9.6N，设释放时，P的最大加速度为a_max，P到达B的最大速度为v_max，P在BC段滑行的最大距离为s_m，则：
F-mgsinθ=ma_max
${v}_{max}^{2}=2{a}_{max}•{s}_{AB}$
在B点以上：$-{v}_{max}^{2}=2{a}_{1}{s}_{m}$
联立以上方程可得：s_m=1.8m＜$\overline{BC}$
所以B不能到达P点．
答：（1）P从A点运动到最高点的过程中，P、Q与地球组成的系统的机械能减少了17.12J；
（2）仅增大Q的质量，通过计算可知P不能到达C点．

点评 该题考查牛顿运动定律的综合应用与功能关系，属于两个物体多过程的运动情况，在解答的过程中要理清各物体在个阶段的受力与运动的关系，再根据运动和受力选择合适的公式．