Question

10．开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即$\frac{{a}^{3}}{{T}^{2}}$=k，k是一个对所有行星都相同的常量．
（1）将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M_太．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×10⁸m，月球绕地球运动的周期为2.36×10⁶s，试计算地球的质M_地．（G=6.67×10 ^-11N•m²/kg²，结果保留一位有效数字）

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供向心力，以及开普勒第三定律求出太阳系中常量k的表达式．
（2）根据万有引力提供向心力，结合轨道半径和周期求出地球的质量．

解答 解：（1）将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，则轨道半径r=a，
即k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，
根据万有引力定律和牛顿第二定律得，$G\frac{{M}_{太}m}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{G{M}_{太}}{4{π}^{2}}$．
（2）根据万有引力定律和牛顿第二定律得，
$G\frac{{M}_{地}m}{{{r}_{月}}^{2}}=m{r}_{月}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{月}}^{2}}$，
代入数据解得M_地=6×10²⁴kg．
答：（1）太阳系该常量k的表达式k=$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$，
（2）地球的质量为6×10²⁴kg．

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，并能灵活运用，注意运用该理论求解天体质量只能求解中心天体的质量，并能求解环绕天体的质量．