Question

6．一质量为M的长木板静止于光滑水平面上，一质量为m的滑块以速率v₀从左端滑上木板，滑块和木板间动摩擦因数为μ，当滑块到木板最右端时两者恰能一起匀速运动，求：
（1）木板的长度L；
（2）滑块在木板上滑行的时间t．

Answer 1

分析 （1）滑块最终不会从木板上掉下的临界情况是滑块滑到最右端时，滑块与木板具有相同速度，根据动量守恒定律求出共同速度，再根据能量守恒定律求出木板的最小长度．
（2）根据滑块的动量变化，由动量定理即可求出时间．

解答 解：（1）滑块在木板上滑动的过程中，水平方向受到的合外力为0，则水平方向的动量守恒，取向右为正方向，
根据动量守恒定律得：mv₀=（M+m）v
解得：$v=\frac{m{v}_{0}}{M+m}$．
根据能量守恒定律得：$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$
联立解得：L=$\frac{M{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）g}$．
（2）滑块在水平方向受到摩擦力的作用，动量发生变化，由动量定理得：-μmgt=mv-mv₀
所以$t=\frac{{v}_{0}-v}{μg}$=$\frac{M{v}_{0}}{μ（m+M）g}$
答：（1）木板的长度是$\frac{M{v}_{0}^{2}}{2μ（M+m）g}$；（2）滑块在木板上滑行的时间是$\frac{M{v}_{0}}{μ（m+M）g}$．

点评 本题综合运用了动量守恒定律、能量守恒定律和动量定理，知道该问题的临界情况是解答的关键．该题也可以使用牛顿运动定律来解答，过程比较麻烦．．