Question

13．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O₁（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E．一质量为m、电荷量为+q（q＞0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当速度方向沿x轴正方向时，粒子恰好从O₁点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力．
（1）求磁感应强度B的大小；
（2）速度方向沿x轴正方向的粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标；
（3）若粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入第一象限，当速度方向沿x轴正方向的夹角θ=30°时，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据几何关系先得到圆心、半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式求解；
（2）粒子离开磁场后，进入电场，根据动能定理列式求解；
（3）粒子在磁场中做圆周运动，先得到第一次圆心和射出点，进入电场后，又沿原路返回，再得到第二次圆心和射出点，最后得到总时间．

解答 解：（1）设粒子在磁场中做圆运动的轨迹半径为R，牛顿第二定律
有 $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
粒子自A点射出，由几何知识  R=a，
解得B=$\frac{mv}{qa}$．
（2）粒子从A点向上在电场中做匀减运动，设在电场中减速的距离为y₁
由$-qE{y}_{1}=0-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
得${y}_{1}=\frac{m{v}^{2}}{2qE}$．
所以在电场中最高点的坐标为（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）  
（3）粒子在磁场中做圆运动的周期  T=$\frac{2πa}{v}$，
粒子从磁场中的P点射出，因磁场圆和粒子的轨迹圆的半径相等，OO₁PO₂构成菱形，故粒子从P点的出射方向与y轴平行，粒子由O到P所对应的圆心角为θ₁=60°
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离
S=acosθ，
粒子在电场中做匀变速运动，在电场中运动的时间${t}_{1}=\frac{2mv}{qE}$，
粒子由P点第2次进入磁场，由Q点射出，PO₁QO₃ 构成菱形，由几何知识可知Q点在x轴上，粒子由P到Q的偏向角为θ₂=120°  
则θ₁+θ₂=π  
粒子先后在磁场中运动的总时间${t}_{2}=\frac{T}{2}$，
粒子在场区之间做匀速运动的时间 ${t}_{3}=\frac{2（a-S）}{v}$，
解得粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间
t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．
答：（1）磁感应强度B的大小为$\frac{mv}{qa}$．
（2）速度方向沿x轴正方向的粒子在第一象限内运动到最高点时的位置坐标为（a，$a+\frac{m{v}^{2}}{2qE}$）
（3）粒子从射入磁场到最终离开磁场的时间为$\frac{（2+π-\sqrt{3}）a}{v}+\frac{2mv}{qE}$．

点评 本题关键先确定圆心、半径，然后根据洛伦兹力提供向心力列式求解；第三问关键先根据题意，分析后画出物体的运动轨迹，然后再列式计算．