Question

4．图甲为小型交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，角速度ω=100πrad/s，线圈N=100匝、电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表．在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ 随时间t按图乙所示正弦规律变化． 

求：
（1）交流发电机产生的电动势的最大值；
（2）写出感应电流随时间变化的函数表达式；
（3）线圈从图示位置转动90°过程中通过电阻R的电量．

Answer 1

分析 （1）交流发电机产生电动势的最大值E_m=nBSω，根据Φ-t图线得出周期T以及角速度．从而求出感应电动势的最大值．
（2）图中是以垂直于中性面开始计时的，所以感应电动势的瞬时表达式：e=E_mcos（ωt）．感应电流的瞬时值表达式$i={I}_{m}^{\;}cosωt$
（3）通过电阻的电量为$q=N\frac{△Φ}{R+r}$

解答 解：（1）则电动势的最大值E_m=NBSω=Nφ_mω=100×2×10^-2×100π=200π（V）
（2）感应电动势的瞬时表达式：e=E_mcos（ωt）=200πcos（100πt）V
感应电流的峰值${I}_{m}^{\;}=\frac{{E}_{m}^{\;}}{R+r}=\frac{200π}{90+10}=2πA$
所以感应电流随时间的表达式$i={I}_{m}^{\;}cosωt=2πcos100πt$（A）
（3）平均感应电动势$\overline{E}=N\frac{△Φ}{△t}$
平均电流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R+r}=N\frac{△Φ}{（R+r）△t}$
通过电阻R的电量$q=\overline{I}•△t=N\frac{△Φ}{R+r}$
线圈转90°，磁通量的变化量为△Φ=${Φ}_{m}^{\;}=2.0×1{0}_{\;}^{-2}{W}_{b}^{\;}$
所以$q=N\frac{△Φ}{R+r}=100×\frac{2.0×1{0}_{\;}^{-2}}{90+10}=2.0×1{0}_{\;}^{-2}$C
答：（1）交流发电机产生的电动势的最大值200π（V）；
（2）写出感应电流随时间变化的函数表达式i=2πcos100πt（A）；
（3）线圈从图示位置转动90°过程中通过电阻R的电量$2.0×1{0}_{\;}^{-2}$C

点评 解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值与有效值的关系．