Question

2．如图所示，足够长的平行金属导轨与水平面成θ角，导轨与固定电阻R₁和R₂相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面．已知导体棒ab质量为m，长度为l，导体棒ab的电阻与固定电阻R₁和R₂的阻值均为R，其余电阻不计，导体棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，匀强磁场的磁感应强度为B．现使导体棒ab在已知平行于平面的恒定外力F的作用下从静止开始，沿导轨向上滑动．
求：（1）当导体棒上滑的速度为v时，导体棒加速度的大小．
（2）当导体棒上滑的速度为v时，电阻R₁的热功率．
（3）导体棒上升过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律列式求解加速度；
（2）根据能量守恒定律列式求解总的热量，根据串并联电路的功率分配关系求解此过程电阻R₁上产生的电热．
（3）当加速度减为零时，速度达到最大值，根据平衡条件列式求解；

解答 解：（1）对导体棒受力分析，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μmgcosθ-BIL=ma
根据闭合电路欧姆定律，有：$I=\frac{BLv}{{R}_{总}}$
电路的总电阻：${R}_{总}=\frac{1}{2}R+R=\frac{3}{2}R$
联立解得：a=gsinθ-μgcosθ-$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$  
（2）ab棒产生的感应电动势为 E=BLv；整个电路的总电阻为 R_总=R+0.5R=1.5R；
根据闭合电路欧姆定律得：通过ab棒的感应电流大小 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{BLv}{1.5R}$，
由串并联电路特点，得电阻R₁上电流：${I}_{1}=\frac{1}{2}I=\frac{BLv}{3R}$，
由焦耳定律解得：P=${I}_{1}^{2}{R}_{1}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{9{R}^{2}}R$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{9R}$．
（3）当加速度为零时，速度最大，由第一问加速度的表达式解得：v_m=$\frac{3mgR（sinθ-ucosθ）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．
答：
（1）当导体棒上滑的速度为v时，导体棒加速度的大小是gsinθ-μgcosθ-$\frac{2{B}^{2}{L}^{2}v}{3mR}$．
（2）当导体棒上滑的速度为v时，电阻R₁的热功率$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{9R}$．
（3）导体棒上升过程中的最大速度得$\frac{3mgR（sinθ-ucosθ）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题是电磁感应与电路知识的综合，掌握电磁感应与电路的基本规律，如右手定则、切割感应电动势公式、欧姆定律是解题的关键．