Question

(20分)一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管，一端封闭，一端开口，处在大气中，大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等，已知管长L＞H.现把细管弯成L形，如图所示.假定细管被弯曲时，管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成L形时，以l表示其竖直段的长度，问l取值满足什么条件时，注入细管的水银量为最大值？给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示).

 

Answer 1

解析：

开始时竖直细管内空气柱长度为L，压强为H(以cmHg为单位)，注入少量水银后，气柱将因水银柱压力而缩短.当管中水银柱长度为x时，管内空气压强p=(H+x)，根据玻意耳定律，此时空气柱长度(1)

　　空气柱上表面与管口的距离(2)

　　开始时x很小，由于L＞H，故即水银柱上表面低于管口，可继续注入水银，直至d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止.何时水银柱表面与管口相平，可分下面两种情况讨论.

　　1.水银柱表面与管口相平时，水银柱未进入水平管

　　此时水银柱的长度x≤l，由玻意耳定律有

　　(H+x)(L-x)=HL　　(3)

　　由(3)式可得x=L-H　　(4)

　　由此可知，当l≥L-H时，注入的水银柱的长度x的最大值x_max=L-H　　(5)

　　2.水银柱表面与管口相平时，一部分水银进入水平管

　　此时注入水银柱的长度x＞l，由玻意耳定律有

　　(H+l)(L-x)=HL　　(6)

　　　　(7)

　　　　(8)

　　由(8)式得l＜L-H，或L＞H+l　　(9)

　　　　(10)

　　即当l＜L-H时，注入水银柱的最大长度x＜x_max.

　　由上讨论表明，当l≥L-H时，可注入的水银量为最大，这时水银柱的长度为x_max，即(5)式.

　　评分标准：(本题20分)

　　正确论证l≥L-H时，可注入的水银量最大，占13分.求出最大水银量占7分.若论证的方法与参考解答不同，只要正确，同样给分.