Question

9．如图所示AB段为一倾角为37°的粗糙斜面，BC为一光滑的水平面，物体M自斜面的A点由静止自由下滑，已知M与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，A点离水平面的竖直高度H=2.4m．一质量为m的小球由一长度为L=0.5m的轻质细线系于C点正上方，且小球置于C点但对水平面的压力恰好为零．M运动至C点与m相碰后，m恰好能在竖直平面内做圆周运动，M落在图中E点．已知CD=0.8m，DE=1.2m．求：两物体的质量之比M：m=？（g=10m/s²）

Answer 1

分析 根据动能定理求出物体M滑到斜面底端的速度大小，即为与m碰撞前的速度大小．根据平抛运动的规律求出碰撞后M的速度．由机械能守恒和最高点临界速度结合求出碰撞后m的速度，再由碰撞过程的动量守恒列式求解M：m．

解答 解：物体M在斜面下滑的过程，由动能定理得：
MgH-μMgcosθ•$\frac{H}{sinθ}$=$\frac{1}{2}M{v}_{0}^{2}$
代入解得：v₀=4m/s，
即得M与m碰撞前的速度大小为：v₀=4m/s．
对于m，在最高点有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
从最低点到最高点有：2mgL+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得M与m碰撞后m的速度为：v₂=$\sqrt{5gL}$=5m/s
M碰后做平抛运动，则有：
DE=v₃t
CD=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得碰撞后M的速度为：v₃=3m/s
对于碰撞过程，取向右方向为正，由动量守恒定律得：
Mv₀=Mv₃+mv₂，
解得：M：m=5：1
答：两物体的质量之比M：m为5：1．

点评 本题运用程序法分析，要明确重力提供向心力时小球恰好通过最高点．掌握碰撞过程的基本规律：动量守恒定律．