Question

如图所示是游乐场中过山车轨道的模型图．图中半径分别为R₁=2.0m和R₂=8.0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为θ=37°斜轨道面上的A、B两点，且与斜轨道之间圆滑连接，两圆形轨道的最高点C、D均与P点平齐．现使小车（视为质点）从P点以一定的
初速度沿斜面向下运动．已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ=

1

6

，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．问：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点C，则它在P点的初速度应为多大？（2）若小车在P点的初速度为15m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？

Answer 1

分析：（1）先根据重力恰好提供向心力求出C点的速度，然后对从P到C过程运用动能定理列式求解；
（2）先求出小车恰好过D的临界速度，然后对从P到D过程运用动能定理列式求解出能运动到D点的最小速度，再与已知速度相比较得出结论．

解答：解：（1）设小车经过C点时的临界速度为v₁，则
mg=

m v 2 1

R1

设P、A两点间距离为L₁，由几何关系可得
L1=

R1(1+cosθ)

sinθ

小车从P运动到C，根据动能定理，有
-μmgL1cosθ=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

解得 v₀=6m/s
即若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点C，则它在P点的初速度应为6m/s．
（2）设P、B两点间距离为L₂，由几何关系可得
L2=

R2(1+cosθ)

sinθ

设小车能安全通过两个圆形轨道在D点的临界速度为v₂，则
mg=

m v 2 2

R2

设P点的初速度为v'₀小车从P运动到D，根据动能定理，有
-μmgL2cosθ=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

mv

′

2 0

解得
v'₀=12m/s，可知v'₀=12m/s＜15m/s
故小车能安全通过两个圆形轨道．

点评：本题关键是先求出小车经过最高点的临界速度，然后对从开始到最高点过程运用动能定理列式求解．