Question

15．1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器．回旋加速器的工作原理如图（甲）所示，置于高真空中的D形金属盒半径为R，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直．A处粒子源产生的粒子，质量为m、电荷量为+q，初速度为0，在加速器中被加速，加速电压为U，加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．
（1）求粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）近年来，大中型粒子加速器往往采用多种加速器的串接组合．例如由直线加速器做为预加速器，获得中间能量，再注入回旋加速器获得最终能量．n个长度逐个增大的金属圆筒和一个靶，它们沿轴线排列成一串，如图（乙）所示（图中只画出了六个圆筒，作为示意）．各筒相间地连接到频率为f、最大电压值为U的正弦交流电源的两端．整个装置放在高真空容器中．圆筒的两底面中心开有小孔．现有一电量为q、质量为m的正离子沿轴线射入圆筒，并将在圆筒间的缝隙处受到电场力的作用而加速（设圆筒内部没有电场）．缝隙的宽度很小，离子穿过缝隙的时间可以不计．已知离子进入第一个圆筒左端的速度为v₁，且此时第一、二两个圆筒间的电势差φ₁-φ₂=-U．为了使离子以最短时间打到靶上且获得最大能量，金属圆筒的长度应满足什么条件？并求出在这种情况下打到靶上的离子的能量．

Answer 1

分析 （1）电场力时粒子在电场中加速，根据动能定理求得速度，洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需要的向心力即可求得半径；
（2）根据$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$求得粒子射出时具有的最大动能，所具有的动能为粒子在电场中的加速获得的，根据加速次数即可求得运动时间；
（3）由动能定理可以求出筒的长度与粒子获得的动能．

解答 解：（1）设粒子第1次经过狭缝后的速度为v₁，半径为r₁．$qU=\frac{1}{2}mv_1^2$
qv₁B=$m\frac{v_1^2}{r_1}$
解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
同理，粒子第2次经过狭缝后的半径${r_2}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m•2U}{q}}$
则$\frac{r_1}{r_2}=\frac{1}{{\sqrt{2}}}$
（2）粒子在磁场中运动一周，被电场加速两次．设粒子到出口处被加速了n次．nUq=$\frac{1}{2}mv_m^2$
qv_mB=$m\frac{v_m^2}{R}$
解得：$n=\frac{{q{B^2}{R^2}}}{2mU}$
带电粒子在磁场中运动的周期$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$
粒子在磁场中运动的总时间$t=\frac{n}{2}T=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$
（3）为了使离子以最短时间打到靶上且获得最大能量，要求离子每次穿越缝隙时，前一个圆筒的电势比后一个圆筒的电势高U，穿过每个圆筒的时间恰好等于交流电的半个周期．由于圆筒内无电场，离子在筒内做匀速运动．设v_n为离子在第n个圆筒内的速度，则第n个圆筒的长度${L_n}={v_n}•\frac{T}{2}=\frac{v_n}{2f}$
$（n-1）qU=\frac{1}{2}m{v_n}^2-\frac{1}{2}m{v_1}^2$
${v_n}=\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$
第n个圆筒的长度应满足的条件为${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
离子打到靶上的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）
答：1）粒子第1次和第2次经过两D形盒间狭缝后轨道半径之比1：$\sqrt{2}$；
（2）求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间t为$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；
（3）金属圆筒的长度应满足${L_n}=\frac{1}{2f}\sqrt{\frac{2（n-1）qU}{m}+{v_1}^2}$（n=1，2，3，…）
这种情况下打到靶上的离子的能量${E_{km}}=（n-1）qU+\frac{1}{2}m{v_1}^2$（n=1，2，3，…）．

点评 回旋加速器中的电场起加速作用，磁场起偏转作用；电场的周期应与粒子做圆周运动的周期相等．