Question

8．如图倾斜的玻璃管长为L=57cm．一端封闭、另一端开口向上，倾角θ=30°．有4cm长的水银柱封闭着45cm长的理想气体，管内外气体的温度均为33℃，大气压强p₀=76cmHg．求：
（i）将璃管缓慢加热，若有2cm水银柱逸出，则温度需要升高到多少；
（ii）若让玻璃管沿倾斜方向向上以a=2m/s²做匀加速直线运动，则空气柱长度为多少．

Answer 1

分析 （1）部分的水银溢出后，气体的压强减小，分别列出两种情况下对应的状态，然后又理想气体的状态方程即可解答；
（2）当玻璃管向上运动的过程中，先对水银进行受力分析，并结合牛顿第二定律求出气体的压强，然后由理想气体的状态方程解答即可．

解答 解：（1）设玻璃管的横截面积是S，水银的密度是ρ，质量是m，则m=ρSL，P₀=0.76ρg，气体初状态的压强为：L₁=45cm，T₁=33+273=306K；${P}_{1}={P}_{0}+\frac{mgsin30°}{S}={P}_{0}+\frac{mg}{2S}$
气体的末状态：L₂=57-2=55cm；T₂=？；${P}_{2}={P}_{0}+\frac{\frac{1}{2}mgsinθ}{S}={P}_{0}+\frac{mg}{4S}$
由理想气体的状态方程：$\frac{{P}_{1}{L}_{1}S}{{T}_{1}}=\frac{{P}_{2}{L}_{2}}{{T}_{2}}$
代入数据得：T₂=369K
（2）当玻璃管向上运动时，玻璃管中的水银柱受到重力、支持力、上边空中向下的作用力与下边空气向上的作用力，合力提供向上的加速度，得：
P₃S-mgsinθ-P₀S=ma
所以：P₃=P₀+$\frac{m（gsinθ+a）}{S}$
气体做等温变化，得：P₃L₃S=P₁L₁S
代入数据得：L₃=44.5cm
答：（i）将璃管缓慢加热，若有2cm水银柱逸出，则温度需要升高到369K；
（ii）若让玻璃管沿倾斜方向向上以a=2m/s²做匀加速直线运动，则空气柱长度为44.5cm．

点评 该题结合受力分析与牛顿第二定律考查理想气体的状态方程，由于向上做加速运动，所以正确对玻璃管中的水银柱进行受力分析是找出气体的压强的关键．