Question

5．（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，请求出月球绕地球运动的轨道半径r．
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v₀竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点．已知月球半径为r_月，引力常量为G，请求出月球的质量M_月．

Answer 1

分析 （1）在月球表面重力与万有引力相等，月球绕地球匀速圆周运动万有引力提供圆周运动向心力据此计算月球运动的轨道半径；
（2）根据竖直上抛运动轨道求出月球表面重力加速度，再根据重力与万有引力相等求得月球质量．

解答 解：（1）在地球表面有重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$     ①
月球绕地球运转有万有引力提供圆周运动向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$     ②
由①②解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）设月球表面处的重力加速度为g_月  
对竖直上抛小球有：g_月=$\frac{2{v}_{0}}{t}$    ③
在月球表面有：$G\frac{{M}_{月}}{{r}_{月}^{2}}={g}_{月}$      ④
由③④解得M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球绕地球运动的半径r为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）月球的质量为$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

点评 对于天体运动问题，根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．另外一个思路是重力等于万有引力，得到GM=gR²，常常称为黄金代换式．