Question

19．如图所示，质量M=2kg，半径R=0.3m的四分之一竖直光滑圆弧槽，静置在光滑水平面上，槽的末端和水平面相切，一质量m=1kg，可视为质点的光滑小球，以初速度v₀冲上圆弧槽，g=10m/s²，求：
（1）若槽固定在水平面上，要使小球恰好到达槽的最上端A点，v₀应为多少
（2）若槽不固定，要使小球恰好到达槽的最上端A点，v₀应为多少
（3）若槽不固定，当v₀=6m/s时，圆弧槽最终获得的速度．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理，抓住小球到达最高点的速度为零，求出初速度的大小．
（2）若槽不固定，小球到达最高点时与槽共速，在水平方向上动量守恒，结合动量守恒和机械能守恒求出初速度的大小．
（3）根据动量守恒和能量守恒求出圆弧槽最终获得的速度．

解答 解：（1）对小球，利用动能定理：-mgR=0-$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$．
得：${v}_{0}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.3}$m/s=$\sqrt{6}m/s$．
（2）小球恰好到达A点时，水平方向和槽共速，竖直方向速度为0．对系统，
规定小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律：mv₀=（M+m）v，
由能量守恒定律：$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}^{2}$，
代入数据联立解得：v₀=3m/s．
（3）当v₀=6m/s时，小球到达A点时，水平方向仍和槽共速，故小球从A点离开槽后，还能再次从A点落回槽，并最终从槽的左侧离开槽．对系统：
规定小球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律：mv₀=mv₁+Mv₂，
由能量守恒定律：$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}M{{v}_{2}}^{2}$，
代入数据解得：${v}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{m+M}=\frac{2×1×6}{1+2}=4m/s$，方向向右．
答：（1）v₀应为$\sqrt{6}m/s$；
（2）v₀应为3m/s．
（3）圆弧槽最终获得的速度为4m/s．

点评 本题考查了动量守恒和能量守恒的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高，知道当槽不固定，小球恰好到达最高点时，两者具有共同的速度．