Question

2．一条河宽100米，船在静水中的速度为4m/s，水流速度是5m/s，则（　　）

• A． 该船不可能垂直河岸横渡到对岸
• B． 过河所用的时间最短为20秒，且位移大于100米
• C． 当船头垂直河岸渡河时，船的位移最小，是100米
• D． 当船渡到对岸时，船沿河岸的最小位移是100米

Answer 1

分析 船既随水向下游运动，又相对于水向对岸行驶，根据船相对于水的速度与水流速度的比较，分析船能否到达正对岸．假设船头的指向与河岸的夹角为α，运用速度的分解求出船垂直于河岸方向的分速度，分析什么条件时渡河的时间最短，并进行求解．运用作图法，根据三角形定则分析什么条件下船的合速度与河岸夹角最大，则船登陆的地点离船出发点的最小距离，再由几何知识求解最小距离．

解答 解：设船在静水中的航速为v₁，水流的速度v₂．
AC、由题，船在静水中的航速小于水流的速度，根据平行四边形定则可知，船的合速度方向不可能垂直于河岸，则船不能垂直到达正对岸．故A正确，C错误；
B、将小船的速度分解为垂直河岸和沿河岸方向，在垂直于河岸的方向上，河宽一定，当在该方向上的速度最大时，渡河时间最短，所以当船头方向垂直河岸，在该方向上的速度等于静水航速，时间最短，为t_min=$\frac{d}{{v}_{1}^{\;}}$=$\frac{100}{4}s$=25s．由图知，最小位移s＞100m，故B错误；
D、船实际是按合速度方向运动，由于v₁、v₂的大小一定，根据作图法，由三角形定则分析可知，当船相对于水的速度v₁与合速度垂直时，合速度与河岸的夹角最大，船登陆的地点离船出发点的最小距离．设船登陆的地点离船出发点的最小距离为S．根据几何知识得$\frac{d}{s}$=$\frac{{v}_{1}^{\;}}{{v}_{2}^{\;}}$，代入$\frac{100}{s}=\frac{4}{5}$，解得：S=125m．船沿河岸的最小位移$x=\sqrt{{s}_{\;}^{2}-{d}_{\;}^{2}}$=$\sqrt{12{5}_{\;}^{2}-10{0}_{\;}^{2}}$m=75m＜100m，故D错误；
故选：A

点评 本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解作出速度分解或合成图，分析最短时间或最短位移渡河的条件．