Question

6．如图所示，为玻璃材料制成的一棱镜的截面图，一细光束从圆弧AB的中点E点沿半径射入棱镜后，恰好在圆心O点发生全反射，经CD面反射，再从圆弧的F点射出，已知，OA=a，OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$a，求：
?（1）该玻璃材料的折射率；
?（2）光线从圆弧的F点射出，出射光线与法线夹角的正弦值；
?（3）光在棱镜中传播的时间．

Answer 1

分析 （1）先作出光路图，根据几何关系得出临界角C，由全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．
（2）由几何知识求得光线在F点的入射角，由折射定律求解出射光线与法线夹角的正弦值．
（3）光在棱镜中的传播速度v=$\frac{c}{n}$．由几何知识求出光线在棱镜中传播的距离S，由t=$\frac{S}{v}$求解传播的时间．

解答 解：（1）作出光路图如图．

根据几何关系可知，临界角为 C=∠EOB=45°
根据全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$
得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
（2）由几何关系得 OG=$\sqrt{2}$OD=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$a=$\frac{1}{2}$a
根据几何关系可知△OGF是直角三角形，则 sinα=$\frac{OG}{OF}$=$\frac{1}{2}$．
根据折射定律得 n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得，sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
②光在棱镜中的传播速度 v=$\frac{c}{n}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$c．
由几何知识得，光线传播的路程为 S=a+$\frac{1}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
光在棱镜中传播的时间 t=$\frac{S}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$
答：
（1）该玻璃材料的折射率是$\sqrt{2}$；
（2）光线从圆弧的F点射出，出射光线与法线夹角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）光在棱镜中传播的时间是$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）a}{2c}$．

点评 本题的突破口是“光线恰好在圆心O点发生全反射”，根据全反射临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相结合进行处理．分析时，要灵活几何知识求解相关角度和光传播的距离，要加强这方面的训练，提高解题能力．