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    20．万有引力定律清楚的向人们揭示复杂运动的背后隐藏着简洁的科学规律，天上和地上的万物遵循同样的科学法则，具有内在的一致性．
    （1）利用万有引力定律可以测量天体的质量．
    英国物理学家卡文迪许，在实验室里巧妙地利用扭秤装置，比较精确地测量出了引力常量的数值，他把自己的实验说成是“称量地球的质量”．
    已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G．若忽略地球自转的影响，求地球的质量M．
    （2）利用万有引力定律可以测量地面上山的高度．
    由于地球自转的影响，物体所受的万有引力的一个分力提供随地球自转的向心力，另一个分力为重力，因此地球表面的重力加速度会随纬度的变化而有所不同．如在北极处由于向心力为0，重力加速度最大；而在赤道处，万有引力、向心力和重力方向相同，向心力最大，因而重力加速度最小．用测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G．将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，测力计的读数是F0．
    （i）若在北极上空高出地面h处的山顶称量，测力计读数为F1，求出$\frac{h}{R}$的表达式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形算出h的具体数值（已知$\sqrt{1.002}$=1.001，计算结果保留两位有效数字）．
    （ii） 若在赤道地面称量，测力计读数为F2，求比值$\frac{F_2}{F0}$的表达式．

    分析 （1）根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$，可解得地球的质量M．
    （2）（i）根据万有引力等于重力得出$\frac{h}{R}$比值的表达式，并就$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km的情形带入求出具体的数值．
    （ii）在赤道，由于万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力，根据该规律求出比值$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}$的表达式．

    解答 解：（1）设地球表面上一物体的质量为m，
    根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力，有：
    $\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
    解得：M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$，
    （2）（i）在地球北极点不考虑地球自转，则秤所称得的重力则为其万有引力，于是
    ${F}_{0}=\frac{GMm}{{R}^{2}}$①
    ${F}_{1}=\frac{GMm}{{（R+h）}^{2}}$②
    解得：$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$
    若$\frac{F_1}{F_0}$=99.8%，R=6400km，
    解得：h=$（\sqrt{1.002}-1）×6.4×1{0}^{6}m=6.4×1{0}^{3}m$，
    （ii） 在赤道处，根据向心力公式得：
    ${G\frac{Mm}{{R}^{2}}-}_{\;}{F}_{2}=m{ω}^{2}R$=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$③
    由①③解得：$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$
    答：（1）地球的质量M为$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
    （2）（i）$\frac{h}{R}$的表达式为$\frac{h}{R}=\sqrt{\frac{{F}_{0}}{{F}_{1}}}-1$，h的具体数值为6.4×103m；
    （ii）比值$\frac{F_2}{F0}$的表达式为$\frac{{F}_{2}}{{F}_{0}}=1-\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}GM}$．

    点评 解决本题的关键知道在地球的两极，万有引力等于重力，在赤道，万有引力的一个分力等于重力，另一个分力提供随地球自转所需的向心力．

    练习册系列答案
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    科目：高中物理 来源： 题型：解答题

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    （1）物块M在斜面上滑动时，弹簧和细线对物块m做的总功．
    （2）物块m在木板上滑动时产生的热量．

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    A．B．C．D．

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    5．下面关于结合能和平均结合能的说法中，正确的有（　　）
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    D．重核与中等质量原子核相比较，重核的结合能和比结合能都大

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    科目：高中物理 来源： 题型：多选题

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